2023-2024学年上海交大附中高三（上）月考数学试卷（10月份）

一、填空题

• 1．抛物线x²=8y的准线方程为

  ．
  组卷：233引用：14难度：0.9

  解析

• 2．复数

  3

  +

  4

  i

  3

  -

  4

  i

  的虚部是

  ．
  组卷：198引用：4难度：0.8

  解析

• 3．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合

  B

  =

  {

  y

  |

  y

  =

  x

  +

  1

  }

  ，那么

  A

  ∩

  B

  =

  ．
  组卷：20引用：4难度：0.7

  解析

• 4．方程lg（2x+1）+lgx=1的解为

  ．
  组卷：365引用：5难度：0.7

  解析

• 5．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、

  2

  、3，则此球的体积为

  ．
  组卷：321引用：2难度：0.9

  解析

• 6．已知

  lo

  g

  a

  1

  2

  ＜

  1

  ，

  a

  1

  2

  ＜

  1

  ，则实数a的取值范围

  ．
  组卷：62引用：3难度：0.7

  解析

• 7．若

  （

  x

  +

  1

  ）

  （

  x

  2

  -

  a

  x

  ）

  4

  的展开式中的常数项为24，则实数a的值为

  ．
  组卷：126引用：3难度：0.8

  解析

三、解答题

• 20．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆C₁：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  0

  ＜

  b

  ＜

  2

  ）

  ，双曲线C₂是椭圆C₁的“姊妹”圆锥曲线，e₁，e₂分别为C₁，C₂的离心率，且

  e

  1

  e

  2

  =

  15

  4

  ，点M，N分别为椭圆C₁的左、右顶点，设过点G（4，0）的动直线l交双曲线C₂右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为k_AM，k_BN．
  （1）求双曲线C₂的方程；
  （2）试探究

  k

  AM

  k

  BN

  是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
  （3）求

  w

  =

  k

  2

  AM

  +

  2

  3

  k

  BN

  的取值范围．
  组卷：135引用：5难度：0.2

  解析

• 21．已知函数f（x）=λln（x+1）-sinx.
  （1）若f（x）在（0，+∞）上周期为2π，求λ的值；
  （2）当λ=1时，判断函数f（x）在

  [

  π

  2

  ，

  +

  ∞

  ）

  上零点的个数：
  （3）已知f（x）≥2（1-e^x）在x∈[0，π]上恒成立，求实数λ的取值范围．
  组卷：281引用：2难度：0.3

  解析