2022-2023学年重庆一中高三（上）月考数学试卷（12月份）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合A={x||x-1|＜2}，B={x|log₃x≤1}，则A∪B=（　　）

  A．（-1，3）

  B．（0，3]

  C．（0，3）

  D．（-1，3]
  组卷：9引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知

  z

  =

  1

  -

  i

  1

  +

  i

  ，其中i为虚数单位，则

  z

  +

  |

  z

  |

  =（　　）

  A．1+i

  B．1-i

  C．2i

  D．2
  组卷：26引用：3难度：0.8

  解析

• 3．已知平面向量

  a

  ，

  b

  满足

  |

  a

  |

  =

  1

  ，

  |

  b

  |

  =

  2

  ，且

  |

  2

  b

  -

  a

  |

  =

  15

  ，则

  cos

  〈

  a

  ，

  b

  〉

  =（　　）

  A． 1 2

  B． 3 2

  C． 1 4

  D． 3 4
  组卷：12引用：2难度：0.8

  解析

• 4．斐波那切是意大利13世纪的数学家，其传世名作为《算盘书》，书中有一个著名的问题：一个人经过七道门进入果园，摘了若干苹果．他离开果园时，给第一个守门人一半加1个；给第二个守门人，是余下的一半加1个；对其他五个守门人，也如此这般，最后他带着1个苹果离开果园．请问：当初他一共摘了（　　）

  A．1522

  B．762

  C．382

  D．192
  组卷：2引用：2难度：0.6

  解析

• 5．下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（　　）

  A．y=2	B． y = sinx x
  C． y = lg （ 4 x 2 + 1 - 2 x ）	D． y = e x - e - x 2
  组卷：23引用：3难度：0.6

  解析

• 6．若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为

  3

  3

  ，则此正四棱柱的体积是（　　）

  A． 9 6 8

  B． 9 3 8

  C． 8 3 27

  D． 8 6 27
  组卷：5引用：2难度：0.6

  解析

• 7．若斜率为k（k＞0）的直线l过双曲线C：

  y

  2

  -

  x

  2

  4

  =

  1

  的上焦点F，与双曲线C的上支交于A，B两点，

  FA

  +

  3

  FB

  =

  0

  ，则k的值为（　　）

  A． 2 2

  B． 3 3

  C． 5 5

  D． 19 19
  组卷：11引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知x²=2py（p＞0）的焦点为F，且经过F的直线被圆

  （

  x

  -

  1

  ）

  2

  +

  （

  y

  +

  3

  2

  ）

  2

  =

  9

  截得的线段长度的最小值为4．
  （1）求抛物线的方程；
  （2）设坐标原点为O，若过点（2，0）作直线l与抛物线相交于不同的两点P，Q，过点P，Q作抛物线的切线分别与直线OQ，OP相交于点M，N，请问直线MN是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
  组卷：70引用：2难度：0.2

  解析

• 22．已知函数f（x）=ln（x+a）-ax.
  （1）若f（x）≤0恒成立，求实数a的最大值；
  （2）设n∈N^*，n≥2，求证：

  （

  1

  +

  1

  3

  2

  ）

  （

  1

  +

  1

  4

  3

  ）

  （

  1

  +

  1

  5

  4

  ）

  …

  [

  1

  +

  1

  （

  n

  +

  1

  ）

  n

  ]

  ＜

  2

  3

  e

  2

  ．
  组卷：23引用：2难度：0.5

  解析