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2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二（下）开学数学试卷

发布：2025/11/10 18:0:24

一、单选题

1．在等差数列{a_n}中，已知a₈=6，a₁₁=0，则a₁等于（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
组卷：414引用：10难度：0.8
2．已知正方体的表面积等于24，则该正方体内切球的体积为（　　）
A．
4
3
π
B．
2
3
C．
π
6
D．
6
π
6
组卷：120引用：1难度：0.6
3．已知i为虚数单位，若复数z=
3
-
i
1
+
i
，则|z|=（　　）
A．1 B．2 C．
2
D．
5
组卷：415引用：7难度：0.8
4．若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B={x|
x
-
2
x
≤
0
}则A∩B=（　　）
A．[-1，0） B．（0，1] C．[0，2] D．[0，1]
组卷：28引用：3难度：0.9
5．“x-1＞0”是“x²-1＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：176引用：5难度：0.7
6．双曲线与椭圆
x
2
5
+
y
2
=
1
共焦点，且一条渐近线方程是
3
x
-
y
=
0
，则此双曲线方程为（　　）
A．
y
2
-
x
2
3
=
1
B．
y
2
3
-
x
2
=
1
C．
x
2
-
y
2
3
=
1
D．
x
2
3
-
y
2
=
1
组卷：83引用：13难度：0.9
7．若将函数
f
（
x
）
=
cos
（
x
+
π
12
）
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移
π
8
个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．g（x）的最小正周期为4π
B．g（x）在区间
[
0
，
π
2
]
上单调递减
C．g（x）图象的一条对称轴为直线
x
=
π
12
D．g（x）图象的一个对称中心为
（
7
π
12
，
0
）
组卷：238引用：2难度：0.5
8．已知a＞b＞1，若e^a-2a=ae^b+1-be^a，则下列结论不正确的是（　　）
A．3^a-1＞3^b B．ln（a+b）＞1 C．
3
a
+
3
-
b
＞
2
3
D．ln（a-b）＜0
组卷：75引用：2难度：0.5

二、多选题

9．设过定点A的动直线x+my+1=0和过定点B的动直线mx-y-2m+3=0交于点P，则|PA|+|PB|可能的取值有（　　）
A．2 B．5 C．6 D．7
组卷：95引用：6难度：0.6
10．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*），则有（　　）
A．S_n=3^n-1 B．{S_n}为等比数列
C．a_n=2•3^n-1 D．
a
n
=
1
，
n
=
1
2
•
3
n
-
2
，
n
≥
2
组卷：87引用：6难度：0.6

11．《九章算术•商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也，合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”，文中“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；文中“阳马”是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥；文中“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的三棱锥，如图所示，在堑堵ABC-A₁B₁C₁中，若AB⊥BC，A₁A=AB=BC=2，则下列说法中正确的有（　　）

A．四棱锥C-AA₁B₁B为阳马，三棱锥B₁-A₁BC为鳖臑

B．点N在线段A₁C上运动，则BN+B₁N的最小值为

C．G，H分别为A₁B₁，CC₁的中点，过点B，G，H的平面截三棱柱ABC-A₁B₁C₁，则该截面周长为

D．点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，点M在棱AB上运动，若直线C₁M，AP是共面直线，则点P的轨迹长度为

组卷：50引用：4难度：0.5

12．已知O为坐标原点，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F作直线l与x轴垂直，且交C于A，B两点，若三角形OAB的外接圆与x轴的一个交点坐标为D（5，0），则（　　）
A．p=1 B．p=2
C．四边形OADB的面积为5 D．四边形OADB的面积为10
组卷：5引用：1难度：0.6

三、填空题

13．已知圆锥曲线C_K的方程：
x
2
9
-
k
+
y
2
4
-
k
=
1
．当m、n为正整数，且m＜n时，存在两条曲线C_m、C_n，其交点P与点
F
1
（
-
5
，
0
）
、
F
2
（
5
，
0
）
满足PF₁⊥PF₂，则满足题意的有序实数对（m,n）共有
对．
组卷：119引用：5难度：0.5
14．如图，已知直线l₁∥l₂，A是l₁，l₂之间的一定点，并且点A到l₁，l₂的距离分别是2，3，B是直线l₂上的动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l₁交于点C．则△ABC的面积的最小值是
．
组卷：21引用：2难度：0.5
15．设{a_n}是等比数列，且a₁+a₂+a₃=1，a₂+a₃+a₄=2，则a₆+a₇+a₈=
．
组卷：380引用：7难度：0.8
16．已知f（x）=2x²-ax+lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是
．
组卷：1213引用：6难度：0.6

四、解答题

17．已知双曲线C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）与双曲线
y
2
6
-
x
2
2
=
1
的渐近线相同，且经过点（2，3）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知双曲线C的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线l经过F₂，倾斜角为
3
4
π
，l与双曲线C交于A，B两点，求△F₁AB的面积．
组卷：2624引用：19难度：0.5
18．已知函数
f
（
x
）
=
sinx
e
x
+
3
，
g
（
x
）
=
x
2
cosx
，且F（x）=f（x）+g（x），求y=F（x）的导数．
组卷：83引用：2难度：0.7
19．在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和（n∈N₊）．若a₂=3，S₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设
b
n
=
1
a
n
•
a
n
+
1
，求数列{b_n}的前n项和T_n．
组卷：196引用：5难度：0.6
20．已知双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的实半轴长为1，且C上的任意一点M到C的两条渐近线的距离乘积为
3
4
．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C相交于P，Q两点，问在x轴上是否存在定点D，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直？若存在，求出定点D的坐标；否则，说明理由．
组卷：226引用：3难度：0.4
21．已知函数
f
（
x
）
=
x
3
+
3
2
x
2
-
4
ax
+
2
．
（1）若函数g（x）=6lnx-x³+（4a-9）x+f（x），求g（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个都小于0的极值点，求实数a的取值范围．
组卷：231引用：8难度：0.6
22．已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y=x垂直，A为垂足且位于第一象限，直线MB与直线y=-x垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形OAMB（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）已知T（5，3）是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线TP，TQ的斜率之和为1，tan∠PTQ=1，求△TPQ的面积．
组卷：155引用：2难度：0.6

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A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件

A．p=1	B．p=2
C．四边形OADB的面积为5	D．四边形OADB的面积为10

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二（下）开学数学试卷

一、单选题

1．在等差数列{an}中，已知a8=6，a11=0，则a1等于（ ）

2．已知正方体的表面积等于24，则该正方体内切球的体积为（ ）

3．已知i为虚数单位，若复数z=3-i1+i，则|z|=（ ）

4．若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B={x|x-2x≤0}则A∩B=（ ）

5．“x-1＞0”是“x2-1＞0”的（ ）

6．双曲线与椭圆x25+y2=1共焦点，且一条渐近线方程是3x-y=0，则此双曲线方程为（ ）

7．若将函数f（x）=cos（x+π12）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移π8个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）

8．已知a＞b＞1，若ea-2a=aeb+1-bea，则下列结论不正确的是（ ）

二、多选题

9．设过定点A的动直线x+my+1=0和过定点B的动直线mx-y-2m+3=0交于点P，则|PA|+|PB|可能的取值有（ ）

10．数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*），则有（ ）

12．已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作直线l与x轴垂直，且交C于A，B两点，若三角形OAB的外接圆与x轴的一个交点坐标为D（5，0），则（ ）

三、填空题

13．已知圆锥曲线CK的方程：x29-k+y24-k=1．当m、n为正整数，且m＜n时，存在两条曲线Cm、Cn，其交点P与点F1（-5，0）、F2（5，0）满足PF1⊥PF2，则满足题意的有序实数对（m,n）共有 对．

14．如图，已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且点A到l1，l2的距离分别是2，3，B是直线l2上的动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C．则△ABC的面积的最小值是 ．

15．设{an}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=．

16．已知f（x）=2x2-ax+lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．

四、解答题

18．已知函数f（x）=sinxex+3，g（x）=x2cosx，且F（x）=f（x）+g（x），求y=F（x）的导数．

19．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和（n∈N+）．若a2=3，S4=16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1an•an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

21．已知函数f（x）=x3+32x2-4ax+2．（1）若函数g（x）=6lnx-x3+（4a-9）x+f（x），求g（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个都小于0的极值点，求实数a的取值范围．

1．在等差数列{a_n}中，已知a₈=6，a₁₁=0，则a₁等于（　　）

2．已知正方体的表面积等于24，则该正方体内切球的体积为（　　）

3．已知i为虚数单位，若复数z=
3
-
i
1
+
i
，则|z|=（　　）

4．若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B={x|
x
-
2
x
≤
0
}则A∩B=（　　）

5．“x-1＞0”是“x²-1＞0”的（　　）

6．双曲线与椭圆
x
2
5
+
y
2
=
1
共焦点，且一条渐近线方程是
3
x
-
y
=
0
，则此双曲线方程为（　　）

7．若将函数
f
（
x
）
=
cos
（
x
+
π
12
）
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移
π
8
个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）

8．已知a＞b＞1，若e^a-2a=ae^b+1-be^a，则下列结论不正确的是（　　）

9．设过定点A的动直线x+my+1=0和过定点B的动直线mx-y-2m+3=0交于点P，则|PA|+|PB|可能的取值有（　　）

10．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*），则有（　　）

12．已知O为坐标原点，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F作直线l与x轴垂直，且交C于A，B两点，若三角形OAB的外接圆与x轴的一个交点坐标为D（5，0），则（　　）

13．已知圆锥曲线C_K的方程：
x
2
9
-
k
+
y
2
4
-
k
=
1
．当m、n为正整数，且m＜n时，存在两条曲线C_m、C_n，其交点P与点
F
1
（
-
5
，
0
）
、
F
2
（
5
，
0
）
满足PF₁⊥PF₂，则满足题意的有序实数对（m,n）共有
对．

14．如图，已知直线l₁∥l₂，A是l₁，l₂之间的一定点，并且点A到l₁，l₂的距离分别是2，3，B是直线l₂上的动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l₁交于点C．则△ABC的面积的最小值是
．

15．设{a_n}是等比数列，且a₁+a₂+a₃=1，a₂+a₃+a₄=2，则a₆+a₇+a₈=
．

16．已知f（x）=2x²-ax+lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是
．

18．已知函数
f
（
x
）
=
sinx
e
x
+
3
，
g
（
x
）
=
x
2
cosx
，且F（x）=f（x）+g（x），求y=F（x）的导数．

19．在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和（n∈N₊）．若a₂=3，S₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设
b
n
=
1
a
n
•
a
n
+
1
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

21．已知函数
f
（
x
）
=
x
3
+
3
2
x
2
-
4
ax
+
2
．
（1）若函数g（x）=6lnx-x³+（4a-9）x+f（x），求g（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个都小于0的极值点，求实数a的取值范围．