2023-2024学年湖南省长沙市周南中学高三（上）入学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．若复数

  z

  =

  |

  3

  i

  -

  1

  |

  +

  1

  1

  +

  i

  ，则复数z的虚部为（　　）

  A． 1 2

  B． 1 2 i

  C． - 1 2 i

  D． - 1 2
  组卷：41引用：8难度：0.8

  解析

• 2．已知全集U的两个非空真子集A，B满足（∁_UA）∪B=B，则下列关系一定正确的是（　　）

  A．A∩B=∅

  B．A∩B=B

  C．A∪B=A

  D．（∁UB）∪A=A
  组卷：98引用：3难度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  =

  （

  m

  ,

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  3

  ，-

  6

  ）

  ，若

  a

  =

  λ

  b

  ，则实数m的值是（　　）

  A．-4

  B．-1

  C．1

  D．4
  组卷：205引用：3难度：0.8

  解析

• 4．设互不相等的三个实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a²，c-b=4-4a+a²，则a,b,c的大小关系是（　　）

  A．b＞a＞c

  B．b＞c＞a

  C．c＞a＞b

  D．c＞b＞a
  组卷：200引用：1难度：0.7

  解析

• 5．设α，β，γ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，且sinβ+sinγ=sinα，cosα+cosγ=cosβ，则β-α等于（　　）

  A． - π 3

  B． π 6

  C． π 3 或 - π 3

  D． π 3
  组卷：475引用：6难度：0.5

  解析

• 6．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  x

  +

  1

  ，在正项等比数列{a_n}中，a₁₀₁₂=1，则

  2023

  ∑

  i

  =

  1

  f

  （

  a

  i

  ）

  =（　　）

  A．1011

  B．1012

  C．2023

  D．2024
  组卷：85引用：4难度：0.5

  解析

• 7．在平面直角坐标系xOy中，若圆

  C

  1

  ：

  （

  x

  +

  4

  ）

  2

  +

  （

  y

  -

  1

  ）

  2

  =

  r

  2

  （

  r

  ＞

  0

  ）

  上存在点P，且点P关于直线y=x+1的对称点Q在圆

  C

  2

  ：

  （

  x

  -

  4

  ）

  2

  +

  y

  2

  =

  4

  上，则r的取值范围是（　　）

  A．（3，7）

  B．[3，7]

  C．（3，+∞）

  D．[3，+∞）
  组卷：362引用：13难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知a＞0，函数f（x）=xe^x-a,g（x）=xlnx-a.
  （1）证明：函数f（x），g（x）都恰有一个零点；
  （2）设函数f（x）的零点为x₁，g（x）的零点为x₂，证明x₁x₂=a.
  组卷：85引用：3难度：0.6

  解析

• 22．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  10

  5

  ，过C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，当l垂直于x轴时，

  |

  AB

  |

  =

  6

  5

  5

  ．
  （1）求C的方程；
  （2）若点M满足

  MA

  +

  MB

  =

  0

  ，过点M作AB的垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△MFD，△OED（O为坐标原点）的面积分别为S₁，S₂，求

  S

  1

  S

  2

  +

  S

  2

  S

  1

  的取值范围．
  组卷：106引用：5难度：0.5

  解析