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2020-2021学年天津市河东区高二（上）期中数学试卷

发布：2025/10/29 16:0:44

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在空间四边形ABCD中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AD
=
c
，点M在AC上，且
AC
=
4
MC
，N为BD的中点，则
MN
=（　　）
A．
1
2
a
-
3
4
b
+
1
2
c
B．
1
2
a
-
2
3
b
-
1
2
c
C．
-
1
2
a
-
3
4
b
-
1
2
c
D．
-
1
2
a
+
2
3
b
-
1
2
c
组卷：407引用：3难度：0.7
2．过点（1，0）且倾斜角为30°的直线被圆（x-2）²+y²=1所截得的弦长为（　　）
A．
3
2
B．1 C．
3
D．2
组卷：7引用：1难度：0.7
3．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为（　　）cm.
A．30 B．20 C．
10
3
D．10
组卷：34引用：2难度：0.7
4．设椭圆C₁的离心率为
5
13
，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C₂上的点到C₁的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线C₂的标准方程为（　　）
A．
x
2
16
-
y
2
9
=1 B．
x
2
169
-
y
2
25
=1
C．
x
2
9
-
y
2
16
=1 D．
x
2
169
-
y
2
144
=1
组卷：363引用：10难度：0.9
5．P为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p=（　　）
A．2 B．4 C．4或9 D．2或18
组卷：360引用：4难度：0.7
6．如果AB＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C=0不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
组卷：160引用：6难度：0.8
7．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上有一异于顶点的点P，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，且两直线PA，PB的斜率的乘积为-
1
2
，则椭圆C的离心率e为（　　）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
5
4
组卷：755引用：4难度：0.6
8．已知空间向量
a
=
（
1
，
2
，
3
）
，
b
=
（
m
,-
1
，
n
）
，若
a
∥
b
，则m+n=（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
组卷：749引用：8难度：0.8
9．若
{
a
，
b
，
c
}
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A．
a
-
b
，
2
a
+
b
-
c
，
3
a
-
c
B．
a
-
b
，
2
a
+
b
-
c
，
a
+
5
b
-
3
c
C．
a
-
b
，
a
+
b
-
c
，
2
b
-
c
D．
a
-
b
，
a
+
b
-
c
，
5
a
+
b
-
3
c
组卷：107引用：4难度：0.5
10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B（2，4），若将军从点A（-2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x-2y+8=0，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）
A．
4
65
5
B．10 C．
10
2
D．
4
2
组卷：365引用：5难度：0.8
11．在空间直角坐标系中，向量
a
=
（
2
，-
3
，
5
）
，
b
=
（
-
2
，
4
，
5
）
，则向量
a
+
b
=（　　）
A．（0，1，10） B．（-4，7，0）
C．（4，-7，0） D．（-4，-12，25）
组卷：653引用：2难度：0.9

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共24分.

12．已知直线x+2y-3=0与椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x-4y+1=0上，则此椭圆的离心率为
．
组卷：540引用：5难度：0.5
13．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则
PM
•
PN
的最大值为
．
组卷：591引用：3难度：0.5
14．椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab.若b=1，则椭圆的准线方程是
．
组卷：52引用：1难度：0.7
15．双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与以OF为直径的圆交于点M（异于点O），与过F且垂直于x轴的直线交于N，若S_△OMF=4S_△MNF，则双曲线C的离心率为
．
组卷：55引用：3难度：0.6
16．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l′表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F₁（-c,0），F₂（c,0）（c＞0），由F₁发出的光经椭圆两次反射后回到F₁经过的路程为8c.利用椭圆的光学性质解决以下问题：

（1）椭圆C的离心率为
；
（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l,F₂在l上的射影H在圆x²+y²=8上，则椭圆C的方程为
．
组卷：235引用：7难度：0.5
17．已知半径为1的圆过点
（
1
，
3
）
，则该圆圆心到原点距离的最大值为
．
组卷：136引用：2难度：0.7
18．抛物线y²=ax的准线方程为x=
1
2
，则a=
．
组卷：50引用：3难度：0.7
19．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知测得从D、C到库底与水坝的交线的距离分别为
DA
=
10
2
米、CB=10米，AB的长为10米，CD的长为
10
6
米，则库底与水坝所成的二面角的大小为
度．
组卷：76引用：2难度：0.5

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

20．设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0．
（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若直线l与x轴、y轴分别交于点M，N，且a＞0，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程．
组卷：333引用：3难度：0.7
21．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB=AD=AA₁=2，BD=DC=2
2
．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求直线AB与平面B₁CD₁所成角的正弦值．
组卷：348引用：15难度：0.4
22．已知圆x²+y²-4ax+2ay+20a-20=0．
（1）求证：对任意实数a,该圆恒过一定点；
（2）若该圆与圆x²+y²=4外切，求a的值．
组卷：442引用：4难度：0.3
23．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别是A₁B、B₁C₁上的点，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N．设
AB
=
a
，
AC
=
b
，
A
A
1
=
c
．
（Ⅰ）试用
a
，
b
，
c
表示向量
MN
；
（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，AB=AC=AA₁=1，求MN的长．
组卷：3459引用：42难度：0.3
24．从椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上一点P向x轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点F₁，A为椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，且
AB
=
λ
OP
（
λ
＞
0
）
．
（1）求该椭圆的离心率．
（2）若该椭圆的准线方程是
x
=±
2
5
，求椭圆方程．
组卷：46引用：4难度：0.1

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A． 1 2 a - 3 4 b + 1 2 c	B． 1 2 a - 2 3 b - 1 2 c
C． - 1 2 a - 3 4 b - 1 2 c	D． - 1 2 a + 2 3 b - 1 2 c

A． x 2 16 - y 2 9 =1	B． x 2 169 - y 2 25 =1
C． x 2 9 - y 2 16 =1	D． x 2 169 - y 2 144 =1

A． a - b ， 2 a + b - c ， 3 a - c	B． a - b ， 2 a + b - c ， a + 5 b - 3 c
C． a - b ， a + b - c ， 2 b - c	D． a - b ， a + b - c ， 5 a + b - 3 c

A．（0，1，10）	B．（-4，7，0）
C．（4，-7，0）	D．（-4，-12，25）

2020-2021学年天津市河东区高二（上）期中数学试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在空间四边形ABCD中，AB=a，AC=b，AD=c，点M在AC上，且AC=4MC，N为BD的中点，则MN=（ ）

2．过点（1，0）且倾斜角为30°的直线被圆（x-2）2+y2=1所截得的弦长为（ ）

4．设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到C1的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线C2的标准方程为（ ）

5．P为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p=（ ）

6．如果AB＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C=0不经过（ ）

7．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上有一异于顶点的点P，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，且两直线PA，PB的斜率的乘积为-12，则椭圆C的离心率e为（ ）

8．已知空间向量a=（1，2，3），b=（m,-1，n），若a∥b，则m+n=（ ）

9．若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）

11．在空间直角坐标系中，向量a=（2，-3，5），b=（-2，4，5），则向量a+b=（ ）

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共24分.

12．已知直线x+2y-3=0与椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x-4y+1=0上，则此椭圆的离心率为．

13．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则PM•PN的最大值为．

14．椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab.若b=1，则椭圆的准线方程是．

15．双曲线C：x2a2-y2b2=1的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与以OF为直径的圆交于点M（异于点O），与过F且垂直于x轴的直线交于N，若S△OMF=4S△MNF，则双曲线C的离心率为 ．

17．已知半径为1的圆过点（1，3），则该圆圆心到原点距离的最大值为 ．

18．抛物线y2=ax的准线方程为x=12，则a=．

19．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知测得从D、C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=102米、CB=10米，AB的长为10米，CD的长为106米，则库底与水坝所成的二面角的大小为度．

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

20．设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0．（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（2）若直线l与x轴、y轴分别交于点M，N，且a＞0，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程．

21．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB=AD=AA1=2，BD=DC=22．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．

22．已知圆x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0．（1）求证：对任意实数a,该圆恒过一定点；（2）若该圆与圆x2+y2=4外切，求a的值．

23．三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N．设AB=a，AC=b，AA1=c．（Ⅰ）试用a，b，c表示向量MN；（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，求MN的长．

24．从椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点P向x轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点F1，A为椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，且AB=λOP（λ＞0）．（1）求该椭圆的离心率．（2）若该椭圆的准线方程是x=±25，求椭圆方程．

1．在空间四边形ABCD中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AD
=
c
，点M在AC上，且
AC
=
4
MC
，N为BD的中点，则
MN
=（　　）

2．过点（1，0）且倾斜角为30°的直线被圆（x-2）²+y²=1所截得的弦长为（　　）

4．设椭圆C₁的离心率为
5
13
，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C₂上的点到C₁的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线C₂的标准方程为（　　）

5．P为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p=（　　）

6．如果AB＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C=0不经过（　　）

7．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上有一异于顶点的点P，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，且两直线PA，PB的斜率的乘积为-
1
2
，则椭圆C的离心率e为（　　）

8．已知空间向量
a
=
（
1
，
2
，
3
）
，
b
=
（
m
,-
1
，
n
）
，若
a
∥
b
，则m+n=（　　）

9．若
{
a
，
b
，
c
}
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）

11．在空间直角坐标系中，向量
a
=
（
2
，-
3
，
5
）
，
b
=
（
-
2
，
4
，
5
）
，则向量
a
+
b
=（　　）

12．已知直线x+2y-3=0与椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x-4y+1=0上，则此椭圆的离心率为
．

13．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则
PM
•
PN
的最大值为
．

14．椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab.若b=1，则椭圆的准线方程是
．

15．双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与以OF为直径的圆交于点M（异于点O），与过F且垂直于x轴的直线交于N，若S_△OMF=4S_△MNF，则双曲线C的离心率为
．

17．已知半径为1的圆过点
（
1
，
3
）
，则该圆圆心到原点距离的最大值为
．

18．抛物线y²=ax的准线方程为x=
1
2
，则a=
．

19．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知测得从D、C到库底与水坝的交线的距离分别为
DA
=
10
2
米、CB=10米，AB的长为10米，CD的长为
10
6
米，则库底与水坝所成的二面角的大小为
度．

20．设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0．
（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若直线l与x轴、y轴分别交于点M，N，且a＞0，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程．

21．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB=AD=AA₁=2，BD=DC=2
2
．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求直线AB与平面B₁CD₁所成角的正弦值．

22．已知圆x²+y²-4ax+2ay+20a-20=0．
（1）求证：对任意实数a,该圆恒过一定点；
（2）若该圆与圆x²+y²=4外切，求a的值．

23．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别是A₁B、B₁C₁上的点，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N．设
AB
=
a
，
AC
=
b
，
A
A
1
=
c
．
（Ⅰ）试用
a
，
b
，
c
表示向量
MN
；
（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，AB=AC=AA₁=1，求MN的长．