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2021-2022学年湖北省武汉市洪山高级中学高二（上）月考数学试卷（12月份）

发布：2025/10/29 1:0:34

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．“米”是象形字．数学探究课上，某同学用抛物线C₁：y²=-2px（p＞0）和C₂：y²=2px（p＞0）构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线C₁，C₂的焦点分别为F₁，F₂，点P在抛物线C₁上，过点P作x轴的平行线交抛物线C₂于点Q，若PF₁=3PQ=6，则p=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
组卷：36引用：3难度：0.7
2．已知数列{a_n}是等差数列，S_n为数列的前n项和，且S₂₀₂₀＞0，S₂₀₂₁＜0，则（　　）
A．a₁₀₁₀+a₁₀₁₁＞0 B．[S_n]_Max=S₁₀₁₁
C．S₂₀₂₀+S₂₀₂₁=0 D．a₁₀₁₁S₁₀₁₁＞0
组卷：802引用：2难度：0.5
3．设{a_n}为等比数列，{b_n}为等差数列，且b₁=0，c_n=a_n+b_n，若数列{c_n}是1，1，2，…，则{c_n}的前10项和为（　　）
A．979 B．557 C．467 D．978
组卷：55引用：4难度：0.7
4．如图，F₁，F₂分别是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦点，点P是双曲线与圆x²+y²=a²+b²在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且
F
1
P
=
1
2
F
2
Q
，则双曲线的离心率为（　　）
A．
10
2
B．
2
C．
3
D．
17
3
组卷：331引用：6难度：0.5
5．已知椭圆mx²+
y
2
2
=1的焦距为2，则实数m=（　　）
A．
1
3
B．
1
6
C．
1
6
或
1
2
D．
1
3
或1
组卷：116引用：3难度：0.6
6．已知线段AB=4，其中点A，B分别在x轴与y轴正半轴上移动，若点A从（2
3
，0）移动到（2，0），则AB中点D经过的路程为（　　）
A．4 B．8-4
3
C．
π
3
D．
π
2
组卷：38引用：2难度：0.5
7．已知直线l₁：（3+a）x+4y=5-3a,l₂：2x+（5+a）y=8．若1₁∥l₂平行，则a的值为（　　）
A．-7 B．-1 C．-7或-1 D．-2或4
组卷：888引用：6难度：0.7
8．系统找不到该试题

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分.

9．已知直线l：kx-y+k=0和圆O：x²+y²=4，则（　　）
A．直线l恒过定点（-1，0）
B．直线l与圆O相交
C．存在k使得直线l与直线l₀：kx-y+3=0垂直
D．若k=-1，直线l被圆O截得的弦长为
14
组卷：217引用：7难度：0.5

10．下列说法正确的有（　　）

A．不等式

＞1的解集是（-2，-

）

B．“a＜1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件

C．命题p：∀x∈R，x²＞0，则￢p：∃x∈R，x²＜0

D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件

组卷：117引用：7难度：0.7

11．如图所示圆台，O₁，O₂分别是上、下底面的圆心，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O₂A=6，O₁B=1，则（　　）

A．圆台的母线长为10

B．圆台的全面积为70π

C．由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是

D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体的棱长最大值是4

组卷：75引用：3难度：0.5

12．P为椭圆C₁：
x
2
4
+
y
2
3
=1上的动点，过P作C₁切线交圆C₂：x²+y²=12于M，N，过M，N作C₂切线的两条切线，切线交于Q，则（　　）
A．S_△OPQ的最大值为
3
2
B．S_△OPQ的取大值为
3
3
C．Q的轨迹是
x
2
36
+
y
2
48
=
1
D．Q的轨迹是
x
2
48
+
y
2
36
=
1
组卷：119引用：3难度：0.5

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知双曲线C的方程为：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
，离心率为
3
5
5
，过C的右支上一点P（x₀，y₀），作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，且|OM|•|ON|=5．过点P作∠F₁PF₂的角平分线，F₂在角平分线上的投影为点H，则|F₁H|的最大值为
．
组卷：76引用：2难度：0.4
14．数列{a_n}的通项公式为a_n=（-1）^n-1（4n-3），则它的前100项和S₁₀₀=
．
组卷：251引用：8难度：0.7
15．已知M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是圆C：（x-3）²+（y-4）²=4上的两个不同的点，若|MN|=2
2
，|x₁+y₁|+|x₂+y₂|的取值范围为
．
组卷：271引用：14难度：0.5
16．若直线l：x-2y+m=0与圆C：x²+y²-2y-4=0相切，则实数m=
．
组卷：609引用：9难度：0.6

四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．
（1）证明：PB⊥平面ABD；
（2）若AD=PB=4，BD=2，求二面角B-PA-D的正弦值．
组卷：974引用：12难度：0.5
18．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点M（5，m）到焦点F的距离为6．
（1）求抛物线C的方程
（2）过点P（2，-1）作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程．
组卷：443引用：7难度：0.5
19．在数列{a_n}中，任意相邻两项为坐标的点P（a_n，a_n+1）均在直线y=2x+k上，数列{b_n}满足条件：b₁=2，b_n=a_n+1-a_n（n∈N）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=b_nlog₂
1
b
n
，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2成立的正整数n的最小值．
组卷：144引用：13难度：0.5
20．已知直线l：x-y-2=0和点A（-1，1），B（1，1）．
（1）直线l上是否存在点C，使得△ABC为直角三角形，若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）在直线l上找一点P，使得∠APB最大，求出P点的坐标．
组卷：328引用：3难度：0.5
21．已知实数x,y满足x²+y²=1，求
y
+
2
x
+
1
的取值范围．
组卷：101引用：1难度：0.5
22．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）经过点M（1，
2
2
），N（
2
，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l的倾斜角为锐角，l与圆x²+y²=
1
2
相切，与椭圆C交于A、B两点，且△AOB的面积为
2
3
，求直线l的方程．
组卷：266引用：3难度：0.6

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A．a₁₀₁₀+a₁₀₁₁＞0	B．[S_n]_Max=S₁₀₁₁
C．S₂₀₂₀+S₂₀₂₁=0	D．a₁₀₁₁S₁₀₁₁＞0

A．S_△OPQ的最大值为 3 2	B．S_△OPQ的取大值为 3 3
C．Q的轨迹是 x 2 36 + y 2 48 = 1	D．Q的轨迹是 x 2 48 + y 2 36 = 1

2021-2022学年湖北省武汉市洪山高级中学高二（上）月考数学试卷（12月份）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

2．已知数列{an}是等差数列，Sn为数列的前n项和，且S2020＞0，S2021＜0，则（ ）

3．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则{cn}的前10项和为（ ）

4．如图，F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且F1P=12F2Q，则双曲线的离心率为（ ）

5．已知椭圆mx2+y22=1的焦距为2，则实数m=（ ）

6．已知线段AB=4，其中点A，B分别在x轴与y轴正半轴上移动，若点A从（23，0）移动到（2，0），则AB中点D经过的路程为（ ）

7．已知直线l1：（3+a）x+4y=5-3a,l2：2x+（5+a）y=8．若11∥l2平行，则a的值为（ ）

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分.

9．已知直线l：kx-y+k=0和圆O：x2+y2=4，则（ ）

10．下列说法正确的有（ ）

11．如图所示圆台，O1，O2分别是上、下底面的圆心，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6，O1B=1，则（ ）

12．P为椭圆C1：x24+y23=1上的动点，过P作C1切线交圆C2：x2+y2=12于M，N，过M，N作C2切线的两条切线，切线交于Q，则（ ）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

14．数列{an}的通项公式为an=（-1）n-1（4n-3），则它的前100项和S100=．

15．已知M（x1，y1），N（x2，y2）是圆C：（x-3）2+（y-4）2=4上的两个不同的点，若|MN|=22，|x1+y1|+|x2+y2|的取值范围为 ．

16．若直线l：x-2y+m=0与圆C：x2+y2-2y-4=0相切，则实数m=．

四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．（1）证明：PB⊥平面ABD；（2）若AD=PB=4，BD=2，求二面角B-PA-D的正弦值．

18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（5，m）到焦点F的距离为6．（1）求抛物线C的方程（2）过点P（2，-1）作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程．

19．在数列{an}中，任意相邻两项为坐标的点P（an，an+1）均在直线y=2x+k上，数列{bn}满足条件：b1=2，bn=an+1-an（n∈N）．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=bnlog21bn，Sn=c1+c2+…+cn，求2n+1-Sn＞60n+2成立的正整数n的最小值．

20．已知直线l：x-y-2=0和点A（-1，1），B（1，1）．（1）直线l上是否存在点C，使得△ABC为直角三角形，若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）在直线l上找一点P，使得∠APB最大，求出P点的坐标．

21．已知实数x,y满足x2+y2=1，求y+2x+1的取值范围．

22．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M（1，22），N（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l的倾斜角为锐角，l与圆x2+y2=12相切，与椭圆C交于A、B两点，且△AOB的面积为23，求直线l的方程．

2．已知数列{a_n}是等差数列，S_n为数列的前n项和，且S₂₀₂₀＞0，S₂₀₂₁＜0，则（　　）

3．设{a_n}为等比数列，{b_n}为等差数列，且b₁=0，c_n=a_n+b_n，若数列{c_n}是1，1，2，…，则{c_n}的前10项和为（　　）

4．如图，F₁，F₂分别是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦点，点P是双曲线与圆x²+y²=a²+b²在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且
F
1
P
=
1
2
F
2
Q
，则双曲线的离心率为（　　）

5．已知椭圆mx²+
y
2
2
=1的焦距为2，则实数m=（　　）

6．已知线段AB=4，其中点A，B分别在x轴与y轴正半轴上移动，若点A从（2
3
，0）移动到（2，0），则AB中点D经过的路程为（　　）

7．已知直线l₁：（3+a）x+4y=5-3a,l₂：2x+（5+a）y=8．若1₁∥l₂平行，则a的值为（　　）

9．已知直线l：kx-y+k=0和圆O：x²+y²=4，则（　　）

10．下列说法正确的有（　　）

11．如图所示圆台，O₁，O₂分别是上、下底面的圆心，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O₂A=6，O₁B=1，则（　　）

12．P为椭圆C₁：
x
2
4
+
y
2
3
=1上的动点，过P作C₁切线交圆C₂：x²+y²=12于M，N，过M，N作C₂切线的两条切线，切线交于Q，则（　　）

14．数列{a_n}的通项公式为a_n=（-1）^n-1（4n-3），则它的前100项和S₁₀₀=
．

15．已知M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是圆C：（x-3）²+（y-4）²=4上的两个不同的点，若|MN|=2
2
，|x₁+y₁|+|x₂+y₂|的取值范围为
．

16．若直线l：x-2y+m=0与圆C：x²+y²-2y-4=0相切，则实数m=
．

17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．
（1）证明：PB⊥平面ABD；
（2）若AD=PB=4，BD=2，求二面角B-PA-D的正弦值．

18．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点M（5，m）到焦点F的距离为6．
（1）求抛物线C的方程
（2）过点P（2，-1）作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程．

20．已知直线l：x-y-2=0和点A（-1，1），B（1，1）．
（1）直线l上是否存在点C，使得△ABC为直角三角形，若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）在直线l上找一点P，使得∠APB最大，求出P点的坐标．

21．已知实数x,y满足x²+y²=1，求
y
+
2
x
+
1
的取值范围．

22．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）经过点M（1，
2
2
），N（
2
，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l的倾斜角为锐角，l与圆x²+y²=
1
2
相切，与椭圆C交于A、B两点，且△AOB的面积为
2
3
，求直线l的方程．