2023-2024学年上海交大附中高三（上）开学数学试卷

一.填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．已知集合A={1，4，5}，B={3，4}，则A∪B=

  ．
  组卷：110引用：3难度：0.9

  解析

• 2．3+4i的平方根是

  ．
  组卷：102引用：11难度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  a

  与

  b

  的夹角是120°，|

  a

  |=3，|

  a

  +

  b

  |=

  13

  ，则|

  b

  |=

   

  ．
  组卷：431引用：17难度：0.7

  解析

• 4．设F₁和F₂是双曲线

  x

  2

  4

  -y²=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F₁PF₂=90°，则△F₁PF₂的面积是

  ．
  组卷：874引用：28难度：0.9

  解析

• 5．记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S₄=0，a₅=10，则a_n+S_n=

  ．
  组卷：141引用：3难度：0.8

  解析

• 6．若

  sin

  （

  α

  +

  π

  6

  ）

  =

  1

  3

  ，则

  sin

  （

  2

  α

  +

  5

  π

  6

  ）

  =

  ．
  组卷：841引用：7难度：0.7

  解析

• 7．直线y=ax+b是曲线

  y

  =

  x

  +

  1

  的切线，则a+b的最小值为

  ．
  组卷：124引用：3难度：0.6

  解析

三.解答题（本大题共5题，满分78分）

• 20．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  经过A（1，0），B（0，b）两点．O为坐标原点，且△AOB的面积为

  2

  4

  ．过点P（0，1）且斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；
  （Ⅲ）设

  PS

  =

  λ

  PO

  ，

  PT

  =

  μ

  PO

  ，求λ+μ的取值范围．
  组卷：405引用：6难度：0.6

  解析

• 21．已知函数f（x）=（2-a）lnx+

  1

  x

  +2ax（a≤0）．
  （Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
  （Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；
  （Ⅲ）若对任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．
  组卷：891引用：36难度：0.1

  解析