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2023-2024学年北京市中国人民大学附中高三（上）月考数学试卷（10月份）

发布：2024/9/6 15:0:11

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）

1．已知集合A={x|x≤2}，B=[0，3]，则A∩B=（　　）
A．{3} B．{0} C．[0，2] D．{0，3}
组卷：51引用：4难度：0.8
解析
2．下列函数既是偶函数且又在（0，+∞）上是单调递减函数的是（　　）
A．f（x）=cos2x B．f（x）=e^x C．f（x）=lg|x| D．f（x）=
x
-
2
3
组卷：25引用：2难度：0.7
解析
3．已知角θ的终边过点P（-12，5），则tanθ=（　　）
A．-
5
12
B．-
12
5
C．
12
5
D．
5
12
组卷：320引用：2难度：0.7
解析
4．若
a
=
（
1
2
）
0
.
3
，
b
=
0
．
3
-
2
，
c
=
lo
g
1
3
3
，则a,b,c大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b
组卷：77引用：2难度：0.7
解析
5．设a,b∈R，且a＜b＜0，则（　　）
A．
1
a
＜
1
b
B．b²＞ab C．
a
+
b
2
＞
ab
D．
b
a
+
a
b
＞
2
组卷：160引用：3难度：0.7
解析
6．一质点做直线运动，若它所经过的位移与时间的关系为
s
（
t
）
=
1
2
t
2
+
t
，设其在时间段[1，2]内的平均速度为（　　）
A．2 B．
3
2
C．3 D．
5
2
组卷：327引用：4难度：0.8
解析
7．已知
A
=
{
y
|
y
=
2
x
，
x
＜
0
}
，
B
=
{
x
|
lo
g
1
2
x
＞
1
}
，则“x∈A”是“x∈B”成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：20引用：2难度：0.7
解析

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三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程、请在答题纸上的相应位置作答．）

20．已知函数
f
（
x
）
=
1
3
x
3
+
1
2
x
2
+
ax
,
g
（
x
）
=
x
e
x
-
1
+
xlnx
．
（1）判断函数y=g（x）零点的个数，并说明理由；
（2）对任意的x₁∈（0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f′（x₁）≤g′（x₂）-2求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，证明：∀x＞0，有g（x）≥f′（x）．
组卷：73引用：2难度：0.3
解析
21．如图，T是3行3列的数表，用a_ij（i,j=1，2，3）表示位于第i行第j列的数，且满足a_ij∈{0，1}．

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

数表中有公共边的两项称为相邻项，例如上表中a₁₁的相邻项仅有a₁₂和a₂₁．对于数表T，定义操作φ_ij为将该数表中的a_ij以及a_ij的相邻项从x变为1-x,其他项不变，并将操作的结果记为φ_ij（T）．已知数表T₀满足a_ij=0，i,j∈{1，2，3}．记变换Ψ为n个连续的上述操作，即
Ψ
：
φ
i
1
j
1
，
φ
i
2
j
2
，
⋯
，
φ
i
n
j
n
，使得
T
1
=
φ
i
1
j
1
（
T
0
）
，
T
2
=
φ
i
2
j
2
（
T
1
）
，
⋯
，
T
n
=
φ
i
n
j
n
（
T
n
-
1
）
，并记T_n=Ψ（T₀）．
（1）给定变换Ψ：φ₁₁，φ₂₂，φ₃₃，直接写出T₃=Ψ（T₀）．
（2）若T′满足a₁₂=a₂₁=a₂₂=a₂₃=1，其他项均为0．Ψ是含n次操作的变换且有T′=Ψ（T₀），求n的最小值．
（3）若变换Ψ中每个操作φ_ij至多只出现一次，则称变换Ψ是一个“优变换”，证明：任给一个数表T：（a_ij），a_ij∈{0，1}，i,j∈{1，2，3}，存在唯一的一个“优变换”Ψ，使得T=Ψ（T₀）．
组卷：28引用：2难度：0.5
解析