2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高三（上）第一次摸底数学试卷（9月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．集合A={-1，0，1，3}，B={x∈R||x|≤1}，则A∩B=（　　）

  A．{0，1}

  B．{-1，0，1}

  C．{-1，0，1，2}

  D．{x|-1≤x≤1}
  组卷：7引用：3难度：0.7

  解析

• 2．已知条件p：

  1

  x

  ＜1，条件q：x²+x-6＞0，则p是q的（　　）

  A．充要条件	B．充分不必要条件
  C．必要不充分条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：91引用：5难度：0.7

  解析

• 3．方程log₃x+x=2的根所在区间是（　　）

  A．（0，1）

  B．（1，2）

  C．（2，3）

  D．（3，4）
  组卷：93引用：2难度：0.5

  解析

• 4．函数f（x）=cos2x在点

  P

  （

  π

  4

  ，

  f

  （

  π

  4

  ）

  ）

  处的切线斜率是（　　）

  A．-2

  B．2

  C．-1

  D．1
  组卷：502引用：2难度：0.5

  解析

• 5．若a,b,c∈R，且a＞b,则下列不等式一定成立的是（　　）

  A．ac＞bc

  B．ac2＞bc2

  C．（b-a）c2＜0

  D．（a-b）c2≥0
  组卷：68引用：2难度：0.9

  解析

• 6．8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：

  C

  =

  W

  lo

  g

  2

  （

  1

  +

  S

  N

  ）

  ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，位道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中

  S

  N

  叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（　　）（参考数值：lg2≈0.301）

  A．43%

  B．33%

  C．23%

  D．13%
  组卷：211引用：11难度：0.7

  解析

• 7．下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（　　）

  A．f（x）=-x3	B．f（x）=x3-x
  C．f（x）=2x-2-x	D．f（x）=ln|x+1|+ln|x-1|
  组卷：30引用：2难度：0.8

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  3

  2

  ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于M（0，m）点，若存在实数m,使得

  OA

  +

  3

  OB

  =

  4

  OM

  ，求m的取值范围．
  组卷：172引用：4难度：0.2

  解析

• 22．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
  （1）讨论函数f（x）的单调性；
  （2）若函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  ax

  ，求证：当

  a

  ∈

  （

  0

  ，

  e

  2

  2

  ]

  时，g（x）＞f（x）+kx-1．
  组卷：67引用：4难度：0.2

  解析