2023-2024学年湖南省邵阳市洞口二中高二（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

• 1．已知集合M={x|x+2≥0}，N={x|x-1＜0}．则M∩N=（　　）

  A．{x|-2≤x＜1}

  B．{x|-2＜x≤1}

  C．{x|x≥-2}

  D．{x|x＜1}
  组卷：2625引用：19难度：0.9

  解析

• 2．设a∈R，（a+i）（1-ai）=2，则a=（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．1

  D．2
  组卷：90引用：5难度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  满足

  |

  a

  +

  b

  |

  =

  |

  a

  -

  2

  b

  |

  ，则向量

  a

  在向量

  b

  上的投影向量为（　　）

  A．- 1 2 b

  B． 1 2 b

  C．-2 b

  D．2 b
  组卷：83引用：4难度：0.8

  解析

• 4．二次函数f（x）=ax²+2x-1在区间（-∞，1）上单调递增的一个充分不必要条件为（　　）

  A．a＞1

  B．a＜-2

  C． - 1 2 ＜ a ＜ 0

  D．0＜a＜1
  组卷：164引用：9难度：0.7

  解析

• 5．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如右图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需总时长为1小时，当上方圆锥中沙子漏至圆锥高度的一半时，所需时间为（　　）

  A． 1 3 小时

  B． 7 8 小时

  C． 26 27 小时

  D． 8 9 小时
  组卷：145引用：8难度：0.6

  解析

• 6．已知x+y=1，y＞0，x＞0，则

  1

  2

  x

  +

  x

  y

  +

  1

  的最小值为（　　）

  A． 5 4

  B．0

  C．1

  D． 2 2
  组卷：1794引用：12难度：0.6

  解析

• 7．如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，点M为PA的中点，

  BD

  =λ

  BN

  ．若MN⊥AD，则实数λ为（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  组卷：173引用：7难度：0.6

  解析

四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB=BC=2，

  AC

  =

  A

  B

  1

  =

  2

  ．
  （1）证明：平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C；
  （2）求平面ACC₁A₁与平面A₁B₁C₁夹角的余弦值．
  组卷：68引用：3难度：0.4

  解析

• 22．某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战．点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球．若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜．设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为

  1

  2

  ，乙队每位球员罚进点球的概率均为

  2

  3

  ．假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
  （1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；
  （2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以2：0领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率．
  组卷：355引用：7难度：0.6

  解析