2023-2024学年湖南省长沙市雨花区南雅中学高三（上）入学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知z是方程x²-2x+2=0的一个根，则|

  z

  |=（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 3

  D．2
  组卷：201引用：6难度：0.8

  解析

• 2．集合U={x|x≤10且x∈N^*}，A⊆U，B⊆U，且A∩B={4，5}，（∁_UB）∩A={1，2，3}，（∁_UA）∩（∁_UB）={6，7，8}，则B=（　　）

  A．{4，5，6，7}

  B．{4，5，6，9}

  C．{4，5，9，10}

  D．{4，5，6，9，10}
  组卷：57引用：2难度：0.8

  解析

• 3．函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可以是（　　）

  A．f（x）=sin（ π 2 x）	B．f（x）=cos（ π 2 x）
  C．f（x）=sin（ π 4 x）	D．f（x）=cos（ π 4 x）
  组卷：2885引用：6难度：0.7

  解析

• 4．椭圆

  x

  2

  m

  2

  +

  1

  +

  y

  2

  m

  2

  =1（m＞0）的焦点为F₁，F₂，上顶点为A，若∠F₁AF₂=

  π

  3

  ，则m=（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 3

  D．2
  组卷：969引用：17难度：0.7

  解析

• 5．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2⁴⁴¹种不同的码，假设我们1万年用掉3×10¹⁵个二维码，那么大约可以用（　　）

  A．10117万年

  B．117万年

  C．10205万年

  D．205万年
  组卷：151引用：12难度：0.9

  解析

• 6．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀=10，S₂₀=30，则S₄₀=（　　）

  A．270

  B．150

  C．80

  D．70
  组卷：476引用：6难度：0.7

  解析

• 7．某学校有男生600人，女生400人．为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为n的样本．经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20．结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（　　）

  A．96

  B．110

  C．112

  D．128
  组卷：81引用：2难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知函数f（x）=ax-

  1

  x

  -（a+1）lnx（a≠0）．
  （1）讨论函数f（x）的单调性；
  （2）若f（x）既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为g（a）．解不等式g（a）＜2a-2．
  组卷：188引用：5难度：0.6

  解析

• 22．航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取1000名学生作为样本，研究其竞赛成绩．经统计分析该市高中生竞赛成绩X近似地服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

  ̄

  x

  ，σ²近似为样本方差s²，并已求得

  ̄

  x

  =

  73

  和s²=37.5．
  （1）若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间（66.9，85.2）的人数；
  （2）若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过n.如果抽取次数的期望值不超过6，求n的最大值．
  （附：

  37

  .

  5

  ≈

  6

  .

  1

  ，0.975⁵≈0.881，0.975⁶=0.859，0.975⁷=0.838，0.975⁸=0.817，若X∼N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.95）
  组卷：32引用：2难度：0.5

  解析