2023-2024学年湖南省株洲三中高三（上）月考数学试卷（8月份）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合A={x||x|＜3}，B={x|2-x＞0}，则A∩B=（　　）

  A．（-3，2）

  B．（2，3）

  C．（0，3）

  D．（-∞，3）
  组卷：65引用：4难度：0.9

  解析

• 2．复数z的虚部为1，且

  zi

  =

  z

  ，则z=（　　）

  A．2+i

  B．-2+i

  C．1+i

  D．-1+i
  组卷：17引用：5难度：0.8

  解析

• 3．若tanθ=

  5

  ，则cos2θ=（　　）

  A． - 3 5

  B． - 2 3

  C． 3 5

  D． 2 3
  组卷：334引用：8难度：0.8

  解析

• 4．函数f（x）=x⁴-x³的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为（　　）

  A．y=x+3

  B．y=7x+9

  C．y=-x+1

  D．y=-7x-5
  组卷：95引用：8难度：0.7

  解析

• 5．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的顶点为O，经过点A（x₀，2），且F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|OF|，则p=（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 2

  D．2
  组卷：467引用：10难度：0.8

  解析

• 6．已知a＞0，且a≠1，函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  3 a - x , x ＜ 2 ，

  lo g a （ x - 1 ） - 1 ， x ≥ 2

  在R上单调，则a的取值范围是（　　）

  A．（1，+∞）

  B． [ 1 3 ， 2 3 ]

  C． [ 2 3 ， 1 ）

  D． [ 1 3 ， 1 ）
  组卷：253引用：7难度：0.7

  解析

• 7．一个封闭的圆锥形容器内装水若干，如图①所示，锥体内的水面高度为h₁，将锥顶倒置，如图②所示，水面高度为h₂，已知该封闭的圆锥形容器的高为h,且h₁+h₂=h,忽略容器的厚度，则

  h

  h

  2

  =（　　）

  A． 2

  B． 3 2

  C． 3

  D． 3 3
  组卷：33引用：7难度：0.7

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的右顶点为M（2，0），点P在圆D：（x-3a）²+y²=2b²上运动，且|MP|的最大值为6．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）不经过点M的直线l与C交于A，B两点，且直线MA和MB的斜率之积为1，求直线l被圆D截得的弦长．
  组卷：80引用：6难度：0.5

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  cosx

  x

  ，

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  ]

  ，

  f

  ′

  （

  x

  ）

  是f（x）的导函数．
  （1）证明：f′（x）存在唯一零点．
  （2）若关于x的不等式

  f

  ′

  （

  x

  ）

  +

  a

  x

  2

  +

  a

  ⩽

  0

  有解，求a的取值范围．
  组卷：14引用：1难度：0.3

  解析