2021-2022学年北京中国人民大学附中高三（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）

• 1．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|y=ln（x-2）}，A∪B=（　　）

  A．（0，+∞）

  B．（2，+∞）

  C．（2，3）

  D．（0，3）
  组卷：55引用：4难度：0.8

  解析

• 2．命题“∀x∈R，f（x）•g（x）≠0”的否定是（　　）

  A．∀x∈R，f（x）=0且g（x）=0	B．∀x∈R，f（x）=0或g（x）=0
  C．∃x∈R，f（x）=0且g（x）=0	D．∃x∈R，f（x）=0或g（x）=0
  组卷：11引用：1难度：0.7

  解析

• 3．若ab＞0，且a＞b,则下列不等式一定成立的是（　　）

  A．a2＞b2

  B． 1 a ＞ 1 b

  C． b a + a b ＞2

  D． a + b 2 ＞ ab
  组卷：318引用：7难度：0.7

  解析

• 4．已知集合A={x|x²-x-6＞0}，B=（x|0＜x+a＜4}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）

  A．（-3，6）	B．[-3，6]
  C．（-∞，-3）∪（6，+∞）	D．（-∞，-3]∪[6，+∞）
  组卷：404引用：8难度：0.7

  解析

• 5．若tan（α-

  5

  π

  12

  ）=

  1

  2

  ，则tan（α-

  π

  6

  ）的值为（　　）

  A．3

  B． 1 3

  C．-3

  D．- 1 3
  组卷：195引用：4难度：0.8

  解析

• 6．设f（x）=x^α，其中α∈{-1，

  1

  2

  ，1，2，3}，则“函数y=f（x）的图像经过点（-1，1）“是“函数y=f（x）在（-∞，0）上单调递减”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：255引用：2难度：0.7

  解析

• 7．某科技公司为解决芯片短板问题，计划逐年加大研发资金投入．若该公司计划2021年全年投入研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（　　）参考数据：lg1.12≈0.05，lg2≈0.30，lg3≈0.48

  A．2023年

  B．2024年

  C．2025年

  D．2026年
  组卷：100引用：5难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，请在答题纸上的相应位置作答．）

• 20．已知函数f（x）=e^x，g（x）=sinx+cosx.
  （Ⅰ）若f（x）≥ax+1恒成立，直接写出a的值，并证明该不等式；
  （Ⅱ）证明：当x＞-

  π

  4

  时，f（x）≥g（x）；
  （Ⅲ）当x＞-

  π

  4

  时，不等式f（x）+g（x）-2-ax≥0恒成立，求a的取值集合．
  组卷：106引用：4难度：0.3

  解析

• 21．对各项均为正整数的有限数列A₀：a₁，a₂，a₃，…，a_n（n∈N⁺），每次进行以下变换之一：
  变换T₁：将其中一项删除；
  变换T₂：将其中一项的数值由x变为y,其中y∈N⁺，y＜x；
  变换T₃：将其中一项变为两项，由x变为y,z,其中y,z∈N⁺，y+z＜x.
  （I）若A₀：2，3，经过k次变换后其所有项均被删除，且上述三种变换都至少进行了一次，求k；
  （Ⅱ）甲对A₀进行一次变换得到A₁，乙对A₁进行一次变换得到A₂，…，甲、乙轮流进行变换，直到所有项均被删除．
  ①若A₀：1，2，2，甲能否确保自己最后将所有项删除？说明理由．
  ②若A₀：1，2，3，乙能否确保自己最后将所有项删除？说明理由．
  ③若A₀：1，2，3，4，5，是否有人能确保自己最后将所有项删除？说明理由．
  组卷：18引用：3难度：0.2

  解析