2022-2023学年吉林省长春市东北师大附中高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间t（单位；s）之间的关系为y（t）=ln（2t+1），则该质点在t=2s时的瞬时速度为（　　）

  A． 1 5

  B． 2 5

  C．2

  D．4
  组卷：78引用：5难度：0.8

  解析

• 2．某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999-2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：
  
  该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值y随年份x的变化情况，模型一：y=kx+b（k＞0，x＞0）；模型二：y=ke^x+b（k＞0，x＞0），下列说法正确的是（　　）

  A．变量y与x负相关

  B．根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况

  C．若选择模型二，y=kex+b的图象一定经过点（ x ， y ）

  D．当x=13时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP的值为71，则残差为1
  组卷：27引用：2难度：0.6

  解析

• 3．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  2

  -

  lnx

  的减区间为（　　）

  A．（-1，1）

  B．（-∞，1）

  C．（0，1）

  D．（0，+∞）
  组卷：80引用：4难度：0.8

  解析

• 4．已知随机变量X的分布列为（　　）
  

  X	0	1	2
  P	1 3	1 3	1 3

  设Y=2X+3，则D（Y）等于（　　）

  A． 5 3

  B． 8 3

  C． 2 3

  D． 1 3
  组卷：221引用：5难度：0.9

  解析

• 5．某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有（　　）

  A．300种

  B．210种

  C．180种

  D．150种
  组卷：206引用：3难度：0.7

  解析

• 6．已知数列{a_n}，{b_n}，其中a₁=1，且a_n，a_n+1是方程x²-b_nx+2ⁿ=0的实数根，则b₁₀等于（　　）

  A．24

  B．32

  C．48

  D．64
  组卷：232引用：4难度：0.6

  解析

• 7．已知函数f（x）=

  e

  x

  x

  -ax,x∈（0，+∞），当x₂＞x₁＞0时，不等式

  f

  （

  x

  1

  ）

  x

  2

  ＜

  f

  （

  x

  2

  ）

  x

  1

  恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

  A．（-∞， e 2 ]

  B．（-∞，e）

  C．（-∞， e 2 ）

  D．（-∞，e]
  组卷：900引用：9难度：0.8

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四、解答题：本大题共6小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  2

  2

  ，H（1，

  6

  2

  ）是C上一点．
  （1）求C的方程．
  （2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过点D（1，0）作斜率不为0的直线l,l与C交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为k₁，BQ的斜率为k₂．
  证明：①

  k

  1

  k

  2

  为定值；②点M在定直线上．
  组卷：491引用：7难度：0.4

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• 22．已知f（x）=

  1

  2

  x²-a（x-1）-xlnx有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
  （1）求a的范围；
  （2）当0＜a≤1-ln2时，证明：

  a

  +

  1

  2

  ＜f（x₁）+f（x₂）＜1．
  组卷：120引用：2难度：0.6

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