2023-2024学年广西南宁二中、柳州铁一中学高三（上）摸底数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={x∈Z|x²+x-2＜0}，B={-1，2}，那么A∪B（　　）

  A．{-1，0，1，2}

  B．{-1，0，2}

  C．{-1，2}

  D．{-1}
  组卷：49引用：5难度：0.9

  解析

• 2．已知复数z满足z•（2+i）=3+4i（其中i为虚数单位），则|z|=（　　）

  A． 3

  B．2

  C． 5

  D． 2 5
  组卷：38引用：3难度：0.8

  解析

• 3．设数列{a_n}满足a₁+3a₂+⋯+（2n-1）a_n=n,则a₄=（　　）

  A．7

  B． 1 5

  C． 1 7

  D． 1 8
  组卷：114引用：4难度：0.6

  解析

• 4．2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（　　）

  A． 1 3

  B． 1 2

  C． 2 3

  D． 3 4
  组卷：183引用：5难度：0.8

  解析

• 5．函数

  y

  =

  sinx

  •

  ln

  x

  2

  +

  2

  x

  2

  的图象可能是（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：79引用：14难度：0.7

  解析

• 6．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x（单位：万元）的Logistic模型：

  P

  （

  x

  ）

  =

  e

  -

  0

  .

  9

  +

  kx

  1

  +

  e

  -

  0

  .

  9

  +

  kx

  ．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为（　　）（参考数据：ln3≈1.1，ln2≈0.7）

  A．4万元

  B．8万元

  C．6万元

  D．5万元
  组卷：34引用：3难度：0.6

  解析

• 7．已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则|FA|•|FB|=（　　）

  A． 17 3

  B． 16 3

  C． 14 3

  D．2
  组卷：198引用：5难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  经过点

  （

  3

  ，

  6

  2

  ）

  ，右焦点为F（c,0），且c²，a²，b²成等差数列．
  （1）求C的方程；
  （2）过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：x=2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k₁，k₂，证明：

  k

  1

  -

  k

  2

  S

  是定值．
  组卷：256引用：9难度：0.3

  解析

• 22．已知函数f（x）=ax²-ax-xlnx,且f（x）≥0．
  （1）求a；
  （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x₀，且e^-2＜f（x₀）＜2^-2．
  组卷：11905引用：21难度：0.3

  解析