2023-2024学年陕西师大附中高二（上）第一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．设z=

  2

  +

  i

  1

  +

  i

  2

  +

  i

  5

  ，则

  z

  =（　　）

  A．1-2i

  B．1+2i

  C．2-i

  D．2+i
  组卷：2963引用：10难度：0.7

  解析

• 2．直线l₁：x+ay+2a=0和直线l₂：（a-2）x+3y=0互相平行，则实数a的值为（　　）

  A．a=-3

  B． a = 1 2

  C．a=1或a=3

  D．a=-1或a=3
  组卷：41引用：1难度：0.5

  解析

• 3．从圆（x-1）²+（y-1）²=1外一点P（2，3）向圆引切线，则此切线的长是（　　）

  A． 5

  B．2

  C． 6

  D． 13
  组卷：162引用：9难度：0.7

  解析

• 4．已知空间中三点A（-1，0，0），B（0，1，-1），C（-2，-1，2），则点C到直线AB的距离为（　　）

  A． 6 3

  B． 6 2

  C． 3 3

  D． 3 2
  组卷：182引用：5难度：0.7

  解析

• 5．关于x的方程

  1

  -

  x

  2

  -kx-2=0有唯一解，则实数k的范围是（　　）

  A．k= ± 3

  B．k∈（-2，2）

  C．k∈（-∞，-2）∪（2，+∞）

  D．k∈（-∞，-2）∪（2，+∞）∪{- 3 ， 3 }
  组卷：115引用：5难度：0.6

  解析

• 6．椭圆C：

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的上顶点为A，点P，Q均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为

  4

  3

  ，则C的离心率为（　　）

  A． 3 2

  B． 2 2

  C． 1 2

  D． 1 3
  组卷：431引用：7难度：0.7

  解析

• 7．已知两定点A（-2，0）和B（2，0），动点P（x,y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）

  A． 2 26

  B． 2 26 13

  C． 2 13

  D． 4 13
  组卷：273引用：17难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共5小题，请写出解答过程，17、18每题10分，19、20、21每题12分，共56分）

• 20．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，O，M，N分别为线段BC，AA₁，BB₁的中点，P为线段AC₁上的动点，AA₁=16，AC=8．
  （1）若

  AO

  =

  1

  2

  BC

  ，试证：C₁N⊥CM；
  （2）在（1）的条件下，当AB=6时，试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB₁C₁C所成角的正弦值最大．
  组卷：243引用：8难度：0.4

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• 21．已知椭圆

  Ω

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  5

  5

  ，焦距为2．
  （1）求Ω的标准方程．
  （2）过Ω的右焦点F作相互垂直的两条直线l₁，l₂（均不垂直于x轴），l₁交Ω于A，B两点，l₂交Ω于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．
  组卷：406引用：5难度：0.4

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