2023-2024学年安徽省合肥市长丰一中高二（上）第一次月考数学试卷

一、单选题（本题共计8小题，总分40分）

• 1．已知i为虚数单位，复数z=

  2

  1

  +

  i

  +3i,则复数z的虚部是（　　）

  A．i

  B．1

  C．2i

  D．2
  组卷：75引用：3难度：0.8

  解析

• 2．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：
  977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，
  431，257，394，027，556，488，730，113，537，908．
  由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（　　）

  A．0.6

  B．0.7

  C．0.75

  D．0.8
  组卷：150引用：11难度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  的夹角为

  π

  3

  ，且|

  a

  |=2，|

  b

  |=1，则向量

  a

  与向量

  a

  +2

  b

  的夹角为（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 4

  D． π 2
  组卷：146引用：3难度：0.9

  解析

• 4．已知两个向量

  a

  =

  （

  2

  ，-

  1

  ，

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  4

  ，

  m

  ,

  n

  ）

  ，且

  a

  ∥

  b

  ，则m+n的值为（　　）

  A．1

  B．2

  C．4

  D．8
  组卷：488引用：29难度：0.9

  解析

• 5．如图，在四面体OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ．点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则

  MN

  等于（　　）

  A． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c	B． - 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
  C． 1 2 a + 1 2 b - 1 2 c	D． 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c
  组卷：425引用：74难度：0.7

  解析

• 6．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，∠A₁AD=∠A₁AB=60°，E是棱AD的中点，则直线B₁E与直线BD₁所成角的余弦值为（　　）

  A． 3 5 10

  B． 6 5

  C． 3 6 10

  D． 5 5
  组卷：88引用：2难度：0.7

  解析

• 7．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，

  A

  A

  1

  =

  2

  3

  ，

  ∠

  BAC

  =

  2

  π

  3

  ，则球O的体积为（　　）

  A． 32 π 3

  B．3π

  C． 4 π 3

  D．8π
  组卷：318引用：4难度：0.6

  解析

四、解答题（本题共计6小题，总分70分）

• 21．杭州2022年第19届亚运会（The19thAsianGamesHangzhou2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p,另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为

  1

  2

  ．最初分组时AB同组，CD同组．
  
  （1）若

  p

  =

  3

  4

  ，在淘汰赛赛制下，A，C获得冠军的概率分别为多少？
  （2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
  组卷：183引用：9难度：0.6

  解析

• 22．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面正方形BB₁C₁C的中心为点M，A₁M⊥平面BB₁C₁C，且

  B

  B

  1

  =

  2

  ，

  AB

  =

  3

  ，点E满足

  A

  1

  E

  =

  λ

  A

  1

  C

  1

  （

  0

  ≤

  λ

  ≤

  1

  ）

  ．
  
  （1）若A₁B∥平面B₁CE，求λ的值；
  （2）求点E到平面ABC的距离；
  （3）若平面ABC与平面B₁CE所成角的正弦值为

  2

  5

  5

  ，求λ的值．
  组卷：13引用：4难度：0.5

  解析