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2023-2024学年陕西省西安市南开高级中学高二（上）第一次质检数学试卷（9月份）

发布：2024/8/29 12:0:8

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．已知复数
z
=
（
3
i
-
1
）
（
1
-
i
）
i
2019
（i为虚数单位），则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为4
B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C．z的共轭复数
z
=
4
-
2
i
D．
|
z
|
=
2
5
组卷：153引用：10难度：0.8
解析
2．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②，那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（　　）
A．①用随机抽样法，②用系统抽样法
B．①用分层抽样法，②用随机抽样法
C．①用系统抽样法，②用分层抽样法
D．①用分层抽样法，②用系统抽样法
组卷：11引用：2难度：0.8
解析
3．已知向量
AB
=
（
-
1
，
2
）
，
BC
=
（
x
,-
5
）
，若
AB
•
BC
=
-
7
，则
|
AC
|
=（　　）
A．5 B．
4
2
C．6 D．
5
2
组卷：235引用：6难度：0.8
解析
4．一组数据X₁，X₂，…，X_n的平均数是3，方差是5，则数据3X₁+2，3X₂+2，…，3X_n+2 的平均数和方差分别是（　　）
A．11，45 B．5，45 C．3，5 D．5，15
组卷：44引用：4难度：0.9
解析
5．将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n,则函数y=mx²-4nx+1在[1，+∞）上是增函数的概率是（　　）
A．
1
6
B．
1
4
C．
3
4
D．
5
6
组卷：203引用：4难度：0.5
解析
6．已知两点A（2，-3），B（-3，2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A．-4≤k≤-
1
4
B．k≤-4或k≥-
1
4
C．-4≤k≤
3
4
D．-
3
4
≤k≤4
组卷：1201引用：9难度：0.7
解析

7．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面

B．已知向量

{

，

}

组是空间的一个基底，则

{

，

}

也是空间的一个基底

C．若对空间中任意一点O，有

，则P，A，B，C四点共面

D．若

•

＜

，则

，

的夹角是钝角

组卷：171引用：5难度：0.7

解析

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步㵵）

21．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2
2
．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．
组卷：751引用：10难度：0.3
解析
22．在△ABC中，AB=1，D为BC边上一点，且
∠
ADB
=
π
3
．
（1）若AD为BC边上的中线，求边AC的最大值；
（2）若AD为∠BAC的平分线，且△ABC为锐角三角形，求边AC的取值范围．
组卷：139引用：5难度：0.6
解析

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A．-4≤k≤- 1 4	B．k≤-4或k≥- 1 4
C．-4≤k≤ 3 4	D．- 3 4 ≤k≤4

2023-2024学年陕西省西安市南开高级中学高二（上）第一次质检数学试卷（9月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．已知复数z=（3i-1）（1-i）i2019（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）

3．已知向量AB=（-1，2），BC=（x,-5），若AB•BC=-7，则|AC|=（ ）

4．一组数据X1，X2，…，Xn的平均数是3，方差是5，则数据3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2 的平均数和方差分别是（ ）

5．将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n,则函数y=mx2-4nx+1在[1，+∞）上是增函数的概率是（ ）

6．已知两点A（2，-3），B（-3，2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）

7．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步㵵）

21．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P-CD-B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．

22．在△ABC中，AB=1，D为BC边上一点，且∠ADB=π3．（1）若AD为BC边上的中线，求边AC的最大值；（2）若AD为∠BAC的平分线，且△ABC为锐角三角形，求边AC的取值范围．

1．已知复数
z
=
（
3
i
-
1
）
（
1
-
i
）
i
2019
（i为虚数单位），则下列说法正确的是（　　）

3．已知向量
AB
=
（
-
1
，
2
）
，
BC
=
（
x
,-
5
）
，若
AB
•
BC
=
-
7
，则
|
AC
|
=（　　）

4．一组数据X₁，X₂，…，X_n的平均数是3，方差是5，则数据3X₁+2，3X₂+2，…，3X_n+2 的平均数和方差分别是（　　）

5．将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n,则函数y=mx²-4nx+1在[1，+∞）上是增函数的概率是（　　）

6．已知两点A（2，-3），B（-3，2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）

7．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）

21．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2
2
．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．

22．在△ABC中，AB=1，D为BC边上一点，且
∠
ADB
=
π
3
．
（1）若AD为BC边上的中线，求边AC的最大值；
（2）若AD为∠BAC的平分线，且△ABC为锐角三角形，求边AC的取值范围．