2022-2023学年黑龙江省牡丹江市海林市高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．若集合A={x|y=ln（x-2）}，B={x|（x-3）（1-x）＞0}，则A∩B=（　　）

  A．（3，+∞）

  B．（2，3）

  C．（1，3）

  D．（2，+∞）
  组卷：31引用：2难度：0.7

  解析

• 2．已知复数z满足

  （

  1

  -

  3

  i

  ）

  z

  =

  4

  +

  4

  i

  （i是虚数单位），则|z|=（　　）

  A． 2 2

  B． 2

  C．2

  D． 2 2
  组卷：3引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知

  3

  sinα

  =

  5

  ，

  α

  ∈

  （

  π

  2

  ，

  π

  ）

  ，则

  si

  n

  2

  α

  2

  -

  co

  s

  2

  α

  2

  =（　　）

  A． 2 3

  B． - 2 3

  C．1

  D． - 3 5
  组卷：8引用：3难度：0.8

  解析

• 4．已知x∈（0，π），则“sinx=

  3

  5

  ”是“cosx=

  4

  5

  ”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：341引用：6难度：0.8

  解析

• 5．碳14的半衰期为5730年．在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估计目标物所处的年代．生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是y=

  A

  0

  （

  1

  2

  ）

  x

  5730

  （其中A₀为生物体死亡时体内碳14含量）．考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的80%，由此可以推测到发掘出该生物标本时，该生物体在地下大约已经过了（参考数据：lg2≈0.301）（　　）

  A．1847年

  B．2022年

  C．2895年

  D．3010年
  组卷：66引用：4难度：0.8

  解析

• 6．已知项数为n的等差数列{a_n}的前6项和为10，最后6项和为110，所有项的和为360，则n=（　　）

  A．48

  B．36

  C．30

  D．26
  组卷：150引用：3难度：0.7

  解析

• 7．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则异面直线A₁D与B₁D₁所成角为（　　）

  A． π 6

  B． π 4

  C． π 3

  D． π 2
  组卷：211引用：2难度：0.7

  解析

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．在数列{a_n}中，a₁=1，且n≥2，

  a

  1

  +

  1

  2

  a

  2

  +

  1

  3

  a

  3

  +

  ⋯

  +

  1

  n

  -

  1

  a

  n

  -

  1

  =

  a

  n

  ．
  （1）求{a_n}的通项公式；
  （2）若

  b

  n

  =

  1

  a

  n

  a

  n

  +

  1

  ，且数列{b_n}的前项n和为S_n，证明：S_n＜3．
  组卷：131引用：3难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=lnx+

  1

  ax

  （a∈R且a≠0）．
  （1）若f（x）存在零点，求a的取值范围；
  （2）当a=2时，若函数g（x）=f（x）-m有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：x₁+x₂＞1．
  组卷：14引用：2难度：0.6

  解析