2023年湖南省长沙市周南中学高考数学模拟试卷（二）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．若复数

  z

  =

  2

  1

  +

  i

  ，则|z+2-3i|=（　　）

  A． 13

  B． 17

  C．4

  D．5
  组卷：86引用：2难度：0.9

  解析

• 2．已知集合A={1，3，a²}，B={1，a+2}，且A∪B=A，则a的取值集合为（　　）

  A．{-1}

  B．{2}

  C．{-1，2}

  D．{1，-1，2}
  组卷：188引用：3难度：0.7

  解析

• 3．在△ABC中，已知C=45°，b=

  2

  ，c=2，则角B为（　　）

  A．30°或150°

  B．60°

  C．30°

  D．60°或120°
  组卷：693引用：8难度：0.7

  解析

• 4．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₆=3S₃，a₇=12，则a₁=（　　）

  A． 1 3

  B． 1 2

  C．2

  D．3
  组卷：187引用：2难度：0.8

  解析

• 5．已知函数f（x）的定义域为R，且y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）成中心对称．当x＞0时，

  f

  （

  x

  ）

  =

  3

  x

  +

  1

  ，则f（-2）=（　　）

  A．1

  B．3

  C．-1

  D．-3
  组卷：130引用：4难度：0.8

  解析

• 6．已知菱形ABCD的边长为1，

  AB

  •

  AD

  =

  -

  1

  2

  ，G是菱形ABCD内一点，若

  GA

  +

  GB

  +

  GC

  =

  0

  ，则

  AG

  •

  AB

  =（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 3 2

  D．2
  组卷：105引用：1难度：0.7

  解析

• 7．若斜率为1的直线l与曲线y=ln（x+a）和圆x²+y²=

  1

  2

  都相切，则实数a的值为（　　）

  A．-1

  B．0

  C．2

  D．0或2
  组卷：601引用：14难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

• 21．已知双曲线E：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  a

  2

  =1，点D（0，2）与双曲线上的点的距离的最小值为

  3

  ．
  （Ⅰ）求双曲线E的方程；
  （Ⅱ）直线l：y=kx+m与圆C：x²+（y+2）²=1相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记△DAB，△OMN的面积分别为S₁，S₂，当S₁-4S₂=

  8

  7

  时，求直线l的方程．
  组卷：324引用：4难度：0.2

  解析

• 22．已知函数f（x）=e^ax-x-1．
  （1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；
  （2）若对任意的实数k,b,函数y=f（x）+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数f（x）为“恒切函数”．若a=1时，函数

  F

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  2

  f

  （

  x

  ）

  +

  m

  是“恒切函数”，求证：

  -

  1

  8

  ＜

  m

  ≤

  0

  ．
  组卷：49引用：1难度：0.5

  解析