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2023-2024学年重庆一中高二（上）第一次月考数学试卷

发布：2024/9/12 14:0:9

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）

1．椭圆
x
2
2
+
y
2
5
=
1
的短半轴长为（　　）
A．
2
2
B．
2
C．
5
D．
3
组卷：245引用：1难度：0.9
解析
2．双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（　　）
A．
π
4
B．
2
3
π
C．
3
π
4
D．
5
π
6
组卷：284引用：5难度：0.9
解析
3．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a,b,c,若2a=c,则
2
sin
2
C
-
sin
2
A
sin
2
A
的值为（　　）
A．-1 B．1 C．3 D．7
组卷：98引用：1难度：0.7
解析
4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，下列选项中满足题意的方程为（　　）
A．
x
2
81
+
y
2
16
=
1
B．
x
2
65
+
y
2
81
=
1
C．
x
2
100
+
y
2
64
=
1
D．
x
2
64
+
y
2
100
=
1
组卷：88引用：5难度：0.7
解析
5．圆心在y轴上的圆C与直线x-y=1相切于点A（1，0），则圆心C的纵坐标为（　　）
A．2 B．
2
C．1 D．0
组卷：87引用：5难度：0.7
解析
6．设F₁、F₂是双曲线C：
x
2
2
-
y
2
4
=
1
的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，且
|
OP
|
=
1
2
|
P
F
1
-
P
F
2
|
，则△PF₁O的面积为（　　）
A．4 B．
2
2
C．3 D．2
组卷：191引用：1难度：0.5
解析
7．斜率为k的直线l与椭圆C：
x
2
6
+
y
2
3
=
1
交于A，B两点，线段AB的中点为M（2，m），则k的范围是（　　）
A．k＜1 B．
-
1
3
＜
k
＜
1
3
C．k＜-1或k＞1 D．
-
2
3
＜
k
＜
2
3
组卷：428引用：4难度：0.9
解析

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四、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

21．已知圆O₁：
（
x
+
2
）
2
+
y
2
=
49
4
和圆O₂：
（
x
-
2
）
2
+
y
2
=
1
4
，以动点P为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切．记动点P的轨迹为T．
（1）求轨迹T的方程；
（2）过N（0，1）的直线交轨迹T于A，B两点，点C在直线y=2上．若△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，求AB的长度．
组卷：125引用：2难度：0.3
解析
22．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
=
1
（
a
＞
0
）
，A（-a,0），B（a,0）．
（1）若椭圆C的离心率是
3
2
，求a的值；
（2）椭圆C内部的一点T（t,
1
2
）（t＞0），过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N，且M，N是不同的两点．
①设△BTM的面积是S₁，△ATN的面积是S₂，当a=2时，求
S
1
S
2
的范围；
②若点U（x_u，y_u），V（x_v，y_v）满足x_u＞x_v，且y_u＜y_v，则点U在点V的右下方．求证：点M在点N的右下方．
组卷：47引用：1难度：0.2
解析