2023-2024学年重庆市南开中学高三（上）第二次质检数学试卷（10月份）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

• 1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x＞2}，则A∩（∁_UB）为（　　）

  A．{1，2}

  B．{1，2，3}

  C．{2，3}

  D．{3，4，5}
  组卷：26引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知β是第三象限角，则点Q（cosβ，sin2β）位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：75引用：6难度：0.7

  解析

• 3．“m=2”是“幂函数f（x）=（m²-m-1）x^2m+1在（0，+∞）上单调递增”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：53引用：2难度：0.9

  解析

• 4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m,13，16，17，若该组数据的中位数是极差的

  3

  5

  ，则该组数据的40百分位数是（　　）

  A．4

  B．4.5

  C．5

  D．9
  组卷：232引用：5难度：0.8

  解析

• 5．已知f（x）=（e^x-e^-x）cosωx+x+2（ω∈R），且f（3）=1，则f（-3）=（　　）

  A．-3

  B．-1

  C．1

  D．3
  组卷：13引用：2难度：0.7

  解析

• 6．数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=8，

  a

  n

  -

  a

  n

  -

  1

  =

  8

  n

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ，

  n

  ≥

  2

  ）

  ，

  b

  n

  =

  a

  n

  +

  1

  （

  9

  10

  ）

  n

  ，则数列{b_n}的最大项是（　　）

  A．第7项

  B．第9项

  C．第11项

  D．第12项
  组卷：148引用：4难度：0.5

  解析

• 7．已知|φ|≤π，将y=sin（x+φ）向左平移

  π

  6

  个单位长度，再将横坐标缩短为原来的

  1

  2

  ，得到函数y=f（x）．若对

  C

  =

  2

  3

  π

  ，都有f（x）＜0成立，则实数φ的取值范围是（　　）

  A． [ - π 2 ，- π 3 ]

  B． [ - π 2 ， 0 ]

  C． [ 0 ， 2 π 3 ]

  D． [ π 2 ， 2 π 3 ]
  组卷：52引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C：x²=2py（P＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，当k=1时，

  OA

  •

  OB

  =

  -

  4

  ．
  （1）求抛物线C的方程；
  （2）过点A作AD⊥AB交y轴于点D，过点B作BE⊥AB交y轴于点E，记△PAD，△PBE面积分别为S₁，S₂，求当S₁+S₂取得最小值时直线l的方程．
  组卷：48引用：1难度：0.5

  解析

• 22．设函数f（x）=（ax²+bx+1）lnx（a,b∈R）．
  （1）当a=1，b=4时，
  ①求y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
  ②求证：当x∈（0，1]时，f（x）≤3x²-3；
  （2）当a=0时，已知x₁，x₂（0＜x₁＜1＜x₂）为函数g（x）=x-f′（x）+b的两个零点（f′（x）为f（x）的导数），求证：

  x

  2

  -

  x

  1

  ＞

  （

  4

  -

  3

  b

  ）

  2

  -

  4

  ．
  组卷：58引用：2难度：0.3

  解析