2022-2023学年江西省南昌市八一中学高二（上）月考数学试卷（12月份）

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

• 1．为促进中学生综合素质全面发展，某校开设5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有（　　）

  A．60种

  B．120种

  C．125种

  D．243种
  组卷：402引用：4难度：0.9

  解析

• 2．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b,则椭圆的面积公式为S=πab.若椭圆C的离心率为

  3

  2

  ，面积为8π，则椭圆C的标准方程为（　　）

  A． x 2 16 + y 2 4 = 1 或 y 2 16 + x 2 4 = 1

  B． x 2 16 + y 2 12 = 1 或 y 2 16 + x 2 12 = 1

  C． x 2 12 + y 2 4 = 1 或 y 2 12 + x 2 4 = 1

  D． x 2 16 + y 2 9 = 1 或 x 2 9 + y 2 16 = 1
  组卷：395引用：12难度：0.8

  解析

• 3．设直线m的方向向量为（1，1，-1），A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，1）为平面α的三点，则直线m与平面α的位置关系是（　　）

  A．m∥α

  B．m∥α或m⊂α

  C．m⊥α

  D．m∥α
  组卷：103引用：2难度：0.7

  解析

• 4．若直线a的方向向量为

  a

  ，平面α，β的法向量分别为

  n

  ，

  m

  ，则下列命题为假命题的是（　　）

  A．若 a ∥ n ，则直线a⊥平面α

  B．若 a ⊥ n ，则直线a∥平面α

  C．若 cos 〈 a ， n 〉 = 1 2 ，则直线a与平面α所成角的大小为 π 6

  D．若 cos 〈 m ， n 〉 = 1 2 ，则平面α，β的夹角为 π 3
  组卷：126引用：3难度：0.7

  解析

• 5．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，AB=3，点F在线段C₁D₁上，且D₁F=1，则异面直线CD与BF所成角的余弦值为（　　）

  A． 2 2

  B． 3 3

  C． 2 3

  D． 2 4
  组卷：173引用：7难度：0.7

  解析

• 6．已知直线l交椭圆

  C

  ：

  y

  2

  9

  +

  x

  2

  4

  =

  1

  于A，B两点，若点M（1，2）为A，B两点的中点，则直线l的斜率为（　　）

  A． 2 9

  B． - 2 9

  C． 9 8

  D． - 9 8
  组卷：11引用：2难度：0.7

  解析

• 7．已知点F₁，F₂为椭圆

  C

  ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则|PF₁|•|PF₂|的取值范围为（　　）

  A．[3，4]

  B．[2，3]

  C．[1，4]

  D．[1，7]
  组卷：15引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．在梯形ABCD中，AB∥CD，

  ∠

  BAD

  =

  π

  3

  ，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）．将△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得平面D′AC⊥平面BAC（如图2）．
  
  （1）求证：BC∥平面POD′；
  （2）求二面角A-BC-D′的大小；
  （3）线段PD′上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为

  6

  8

  ？若存在，求出

  PQ

  PD

  ′

  的值．
  组卷：15引用：2难度：0.5

  解析

• 22．已知双曲线

  C

  ：

  x

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  b

  ＞

  0

  ）

  ，过点D（2，0）的直线l与该双曲线的两支分别交于M，N两点，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
  （1）若

  b

  =

  2

  ，点O为坐标原点，当OM⊥ON时，求x₁•x₂的值；
  （2）设直线l与y轴交于点E，

  EM

  =

  λ

  MD

  ，

  EN

  =

  μ

  ND

  ，证明：λ+μ为定值．
  组卷：329引用：5难度：0.5

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