2022-2023学年陕西省咸阳市永寿中学高二（下）期中数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知复数z₁=2-i,z₂=1+i,则z₁z₂=（　　）

  A．-1+i

  B．1-2 i

  C．2+i

  D．3+i
  组卷：156引用：6难度：0.8

  解析

• 2．观察如图所示的“集合”的知识结构图，把“①描述法，②包含关系，③基本运算”这三项依次填入M，N，P三处，正确的是（　　）
  

  A．①②③

  B．③①②

  C．②③①

  D．①③②
  组卷：58引用：3难度：0.6

  解析

• 3．设i是虚数单位，复数（a+i）（1+2i）为纯虚数，则实数a为（　　）

  A．-2

  B．2

  C． - 1 2

  D． 1 2
  组卷：181引用：5难度：0.8

  解析

• 4．设一个回归方程为

  ̂

  y

  =

  3

  +

  1

  .

  2

  x

  ，则变量x增加一个单位时．（　　）

  A．y平均增加1.2个单位	B．y平均增加3个单位
  C．y平均减少1.2个单位	D．y平均减少3个单位
  组卷：62引用：1难度：0.9

  解析

• 5．如图所示的程序框图的运行结果是（　　）
  

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：1引用：2难度：0.7

  解析

• 6．当用反证法证明命题“设a,b为实数，则关于x的方程4x²-2ax+3b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）

  A．方程4x2-2ax+3b=0没有实根

  B．方程4x2-2ax+3b=0至多有一个实根

  C．方程4x2-2ax+3b=0至多有两个实根

  D．方程4x2-2ax+3b=0恰好有两个实根
  组卷：28引用：2难度：0.7

  解析

• 7．设a=lg4+lg50，b=e^x（x＞1），则a与b大小关系为（　　）

  A．a＞b

  B．a＜b

  C．a=b

  D．a≤b
  组卷：28引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

• 21．《最强大脑》是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目．节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围．某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试．规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”．已知男生入围24人，女生未入围80人．
  （1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关．
  

  性别	入围人数	未入围人数	总计
  男生	24
  女生		80
  总计

  （2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生．
  （ⅰ）求这11名学生中女生的人数；
  （ⅱ）若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），求这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值．
  附：K²=

  n

  （

  ad

  -

  bc

  ）

  2

  （

  a

  +

  b

  ）

  （

  c

  +

  d

  ）

  （

  a

  +

  c

  ）

  （

  b

  +

  d

  ）

  ，其中n=a+b+c+d.
  

  P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
  k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
  组卷：120引用：3难度：0.6

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• 22．2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑．某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入．该企业连续6年来的科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如表：
  

  科技投入x	2	4	6	8	10	12
  收益y	5.6	6.5	12.0	27.5	80.0	129.2

  并根据数据绘制散点图如图所示：
  
  根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线y=c•2^bx的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如表：
  

  y	z	6 ∑ i = 1 （ x i - x ） （ y i - y ）	6 ∑ i = 1 （ x i - x ） （ z i - z ）	6 ∑ i = 1 （ y i - y ） 2	6 ∑ i = 1 （ x i - x ） 2
  43.5	4.5	854.0	34.7	12730.4	70

  其中z_i=log₂y_i，

  z

  =

  1

  6

  6

  ∑

  i

  =

  1

  z

  i

  ．
  （1）（i）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程（保留一位小数）；
  （ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中log₂5≈2.3）
  （2）乙认为样本点分布在二次曲线y=mx²+n的周围，并计算得回归方程为y=0.92x²-12.0，以及该回归模型的相关指数R²=0.94，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好．
  附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线方程

  ̂

  v

  =

  ˆ

  α

  +

  ˆ

  β

  u

  的斜率和截距的最小二乘估计分别为

  ˆ

  β

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  u

  i

  -

  u

  ）

  （

  v

  i

  -

  v

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  u

  i

  -

  u

  ）

  2

  ，

  ˆ

  α

  =

  v

  -

  ˆ

  β

  u

  ，相关指数：

  R

  2

  =

  1

  -

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  v

  i

  -

  ̂

  v

  i

  ）

  2

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  v

  i

  -

  v

  ）

  2

  ．
  组卷：138引用：7难度：0.7

  解析