2023-2024学年湖南省衡阳八中高三（上）开学数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

• 1．若z（1-i）²=2+2i,则

  z

  =（　　）

  A．1+i

  B．1-i

  C．-1+i

  D．-1-i
  组卷：16引用：2难度：0.8

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• 2．设a∈R，则“a＞1”是“a²＞1”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：566引用：19难度：0.8

  解析

• 3．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo g 2 （ 2 - x ） ， x ＜ 0

  2 x - k , x ≥ 0

  ，若f（f（-2））=3，则k=（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  组卷：56引用：7难度：0.7

  解析

• 4．已知sin（-68°）=m,则cos11°=（　　）

  A． 1 + m 2

  B． 1 - m 2

  C． 1 + m 2

  D． 1 - m 2
  组卷：123引用：4难度：0.7

  解析

• 5．若双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的一条渐近线被圆x²+y²-4y+2=0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（　　）

  A． 3

  B． 2 3 3

  C．2

  D． 2
  组卷：336引用：10难度：0.6

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• 6．八卦是中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH，设其边长为a,中心为O，则下列选项中不正确的是（　　）
  

  A． AB • AC = AB • AD	B． OA • OB + OC • OF = 0
  C． EG 和 HD 是一对相反向量	D． | AB - BC + CD + EF - FG | = a
  组卷：256引用：8难度：0.7

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• 7．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为：x∈[0，1]时，

  R

  （

  x

  ）

  =

  1 q ， x = p q （ p , q ∈ N + ， p q 为既约真分数 ）

  0 ， x = 0 ， 1 和 （ 0 ， 1 ） 内的无理数

  ．若数列

  a

  n

  =

  R

  （

  n

  -

  1

  n

  ）

  ，

  n

  ∈

  N

  +

  ，则下列结论：①R（x）的函数图像关于直线

  x

  =

  1

  2

  对称；
  ②

  a

  n

  =

  1

  n

  ；
  ③a_n+1＜a_n；
  ④

  n

  ∑

  i

  =

  1

  a

  i

  ≥

  ln

  n

  +

  1

  2

  ；
  ⑤

  n

  ∑

  i

  =

  1

  a

  i

  a

  i

  +

  1

  ＜

  1

  2

  ．
  其中正确的是（　　）

  A．①②③

  B．②④⑤

  C．①③④

  D．①④⑤
  组卷：65引用：3难度：0.5

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四、解答题（本题共6个小题，共70分）

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）左焦点为F，离心率为

  1

  2

  ，以坐标原点O为圆心，|OF|为半径作圆使之与直线x-y+

  2

  =0相切．
  （1）求C的方程；
  （2）设点P（4，0），A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，PB交C于另一点E，求△AEF的内切圆半径的范围．
  组卷：196引用：5难度：0.6

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• 22．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0），且6a+b=0，f（1）=4a.
  （1）讨论f（x）的单调性；
  （2）若x∈[0，3]，函数F（x）=f（x）-xe^-x有三个零点x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，试比较x₁+x₂+x₃与2的大小，并说明理由．
  组卷：33引用：6难度：0.3

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