2023-2024学年甘肃省兰州一中高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．若曲线 C：x²+y²+2ax-4ay-10a=0表示圆，则实数a的取值范围为（　　）

  A．（-2，0）	B．（-∞，-2）∪（ 0，+∞）
  C．[-2，0]	D．（-∞，-2]∪[0，+∞）
  组卷：383引用：8难度：0.7

  解析

• 2．若直线l₁：x+ay+6=0与l₂：（a-2）x+3y+2a=0平行，则l₁与l₂间的距离为（　　）

  A． 2

  B． 8 2 3

  C． 3

  D． 8 3 3
  组卷：3042引用：47难度：0.7

  解析

• 3．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为

  7

  4

  ，面积为12π，则椭圆C的方程为（　　）

  A． x 2 4 + y 2 36 = 1	B． x 2 3 + y 2 4 = 1
  C． x 2 18 + y 2 32 = 1	D． x 2 9 + y 2 16 = 1
  组卷：13引用：6难度：0.7

  解析

• 4．等差数列中，a₁+a₂+a₃=-24，a₁₈+a₁₉+a₂₀=78，则此数列前20项和等于（　　）

  A．160

  B．180

  C．200

  D．220
  组卷：712引用：53难度：0.9

  解析

• 5．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₀：S₅=1：2，则S₁₅：S₅等于（　　）

  A．3：4

  B．2：3

  C．1：2

  D．1：3
  组卷：144引用：17难度：0.9

  解析

• 6．已知圆O的半径为5，|OP|=3，过点P的2023条弦的长度组成一个等差数列{a_n}，最短弦长为a₁，最长弦长为a₂₀₂₃，则其公差为（　　）

  A． 1 2022

  B． 1 1011

  C． 3 1011

  D． 1 505
  组卷：69引用：1难度：0.8

  解析

• 7．设P是椭圆

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  9

  =1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（　　）

  A．9，12

  B．8，11

  C．8，12

  D．10，12
  组卷：446引用：12难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4，离心率为

  1

  2

  ，O为坐标原点．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，PB与直线x=4分别交于点M，N．证明：以线段MN为直径的圆过椭圆的右焦点．
  组卷：99引用：1难度：0.5

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• 22．已知数列{a_n}与{b_n}满足a₁+a₂+a₃+⋯+a_n=2b_n，且{a_n}为正项等比数列，a₁=2，b₃=b₂+4．
  （1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
  （2）若数列{c_n}满足

  c

  n

  =

  a

  n

  b

  n

  b

  n

  +

  1

  ，

  T

  n

  为数列{c_n}的前n项和，求证：T_n＜1．
  组卷：67引用：1难度：0.5

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