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2023-2024学年湖南省湘潭市钢铁集团第一子弟中学高三（上）开学数学试卷（8月份）

发布：2024/7/8 8:0:10

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={y|y=e^x}，则A∩B=（　　）
A．∅ B．（-1，+∞） C．（0，3） D．（1，3）
组卷：55引用：7难度：0.7
解析
2．欧拉公式e^xi=cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则（　　）
A．e^πi=1
B．
e
πi
2
为实数
C．
|
e
xi
3
+
i
|
=
1
2
D．复数e²ⁱ对应的点位于第三象限
组卷：21引用：3难度：0.7
解析
3．已知
|
a
|
=
2
|
b
|
，若
a
与
b
的夹角为120°，则
2
b
-
a
在
a
上的投影向量为（　　）
A．
3
-
3
a
B．
-
3
2
a
C．
-
1
2
a
D．
3
a
组卷：490引用：10难度：0.8
解析
4．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为1.8mg/cm³，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过0.3mg/cm³，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（　　）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477）
A．7 B．8 C．9 D．10
组卷：130引用：3难度：0.7
解析
5．已知函数y=f（x）对于任意的
x
∈
（
-
π
2
，
π
2
）
满足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）
A．
f
（
0
）
＞
2
f
（
π
4
）
B．
2
f
（
-
π
3
）
＞
f
（
-
π
4
）
C．
2
f
（
π
3
）
＞
f
（
π
4
）
D．
f
（
0
）
＞
2
f
（
π
3
）
组卷：400引用：7难度：0.6
解析
6．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为
a
,
b
,
c
,
B
=
π
3
，
c
=
2
，则△ABC的周长的取值范围为（　　）
A．
（
3
+
3
，
2
+
2
3
）
B．
（
3
+
3
，
4
+
2
3
）
C．
（
3
+
3
，
6
+
2
3
）
D．
（
3
+
3
，
+
∞
）
组卷：207引用：3难度：0.5
解析
7．已知C，D是圆O：x²+y²=9上两个不同动点，直线（m+1）x+y-（m+2）=0恒过定点P，若以CD为直径的圆过点P，则CD最小值为（　　）
A．4-
2
B．4+
2
C．8-2
2
D．6-
2
组卷：173引用：6难度：0.5
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．已知函数f（x）=（x-1）lnx-m（x+1）．
（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的
x
∈
（
1
e
，
+
∞
）
，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．
组卷：73引用：3难度：0.6
解析
22．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，
A
1
，
A
2
分别为椭圆C的左右顶点，F₁，F₂分别为椭圆C的左右焦点，B是椭圆C的上顶点，且△BA₁F₁的外接圆半径为
2
21
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P，Q两点（P，Q在x轴的两侧），记直线A₁P，A₂P，A₂Q，A₁Q的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄．
（ⅰ）求k₁•k₂的值；
（ⅱ）若k₁+k₄=
5
3
（
k
2
+
k
3
）
，则求△F₂PQ的面积的取值范围．
组卷：100引用：3难度：0.5
解析

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A． f （ 0 ）＞ 2 f （ π 4 ）	B． 2 f （ - π 3 ）＞ f （ - π 4 ）
C． 2 f （ π 3 ）＞ f （ π 4 ）	D． f （ 0 ）＞ 2 f （ π 3 ）

2023-2024学年湖南省湘潭市钢铁集团第一子弟中学高三（上）开学数学试卷（8月份）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={y|y=ex}，则A∩B=（ ）

2．欧拉公式exi=cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则（ ）

3．已知|a|=2|b|，若a与b的夹角为120°，则2b-a在a上的投影向量为（ ）

5．已知函数y=f（x）对于任意的x∈（-π2，π2）满足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（ ）

6．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,B=π3，c=2，则△ABC的周长的取值范围为（ ）

7．已知C，D是圆O：x2+y2=9上两个不同动点，直线（m+1）x+y-（m+2）=0恒过定点P，若以CD为直径的圆过点P，则CD最小值为（ ）

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．已知函数f（x）=（x-1）lnx-m（x+1）．（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的x∈（1e，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

1．已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={y|y=e^x}，则A∩B=（　　）

2．欧拉公式e^xi=cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则（　　）

3．已知
|
a
|
=
2
|
b
|
，若
a
与
b
的夹角为120°，则
2
b
-
a
在
a
上的投影向量为（　　）

5．已知函数y=f（x）对于任意的
x
∈
（
-
π
2
，
π
2
）
满足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）

6．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为
a
,
b
,
c
,
B
=
π
3
，
c
=
2
，则△ABC的周长的取值范围为（　　）

7．已知C，D是圆O：x²+y²=9上两个不同动点，直线（m+1）x+y-（m+2）=0恒过定点P，若以CD为直径的圆过点P，则CD最小值为（　　）

21．已知函数f（x）=（x-1）lnx-m（x+1）．
（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的
x
∈
（
1
e
，
+
∞
）
，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．