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2022-2023学年上海师大附中高一（下）期末数学试卷

发布：2024/6/27 8:0:9

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．已知向量
a
=
（
-
1
，
2
）
，
b
=
（
x
,
4
）
，且
a
⊥
b
，则x=
．
组卷：33引用：2难度：0.8
解析
2．已知等差数列{a_n}前n项和为S_n且满足a₇+a₉=2，则S₁₅=
．
组卷：121引用：1难度：0.8
解析
3．设复数z满足（1+2i）z=5i,则|z|=
．
组卷：103引用：5难度：0.7
解析
4．函数
y
=
f
（
x
）
=
sin
2
x
,
x
∈
[
-
π
6
，
π
3
]
的最大值为
．
组卷：69引用：1难度：0.8
解析
5．已知数列{a_n}满足
a
1
=
1
，
a
n
+
1
=
n
n
+
1
a
n
（
n
∈
N
，
n
⩾
1
）
，则a_n=
．
组卷：146引用：3难度：0.5
解析
6．最早发现勾股定理的人应是我国商朝数学家商高，根据文献记载，商高曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题，所以商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理．现有△ABC满足“勾三股四弦五”，其中AB=4，D为弦BC上一点（不与B、C重合），且△ABD满足“勾三股四弦五”，则
AB
•
AD
=
．
组卷：31引用：1难度：0.7
解析
7．已知平面向量
a
，
b
，
c
满足
a
+
b
+
c
=0，且|
a
|=|
b
|=|
c
|=1，则
a
•
b
的值为
．
组卷：198引用：4难度：0.7
解析

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三、解答题（本大题共5题）

20．公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得n值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率．我们作单位圆的外切和内接正3×2ⁿ边形（n=1，2，3⋯⋯），记外切正3×2ⁿ边形周长的一半为a_n，内接正3×2ⁿ边形周长的一半为b_n．通过计算容易得到：
a
n
=
3
×
2
n
tan
θ
n
（其中θ_n是正3×2ⁿ边形的一条边所对圆心角的一半）
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）求证：对于任意正整数
n
,
1
a
n
、
1
a
n
+
1
、
1
b
n
依次成等差数列；
（3）试问对任意正整数n,b_n、b_n+1、a_n+1是否能构成等比数列？说明你的理由．
组卷：155引用：4难度：0.4
解析
21．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变改行（或该列）中所有数的符号，称为一次“共轭变形”．
（1）数表A如表1所示．若经过两次“共轭变形”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“共轭变形”后得到的数表（写出一种方法即可）；
表1

1 2 3 -7

-2 1 0 1

（2）数表A如表2所示．若必须经过两次“共轭变形”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；
表2

a a²-1 -a -a²

2-a 1-a² a-2 a²

（3）对于由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“共轭变形”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．
组卷：15引用：1难度：0.3
解析