2023-2024学年上海市育才中学高三（上）第一次调研数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1-6题每个空格填对每题得4分，7-12题每个空格填对每题得5分，否则一律得零分。

• 1．集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，A∪B=R，则a的取值范围是

  ．
  组卷：75引用：3难度：0.7

  解析

• 2．若复数（a²-3a+2）+（a-1）i是纯虚数，则实数a=

  ．
  组卷：300引用：29难度：0.9

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（2，1），

  b

  =（2-k,k+1）且

  a

  ⊥

  b

  ，求实数k=

  ．
  组卷：56引用：3难度：0.9

  解析

• 4．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为

  ．
  组卷：62引用：12难度：0.7

  解析

• 5．设无穷等比数列{a_n}（n∈N^*）的公比q=-

  1

  2

  ，

  a

  1

  =1，则

  lim

  n

  →∞

  （

  a

  2

  +

  a

  4

  +

  …

  +

  a

  2

  n

  ）

  =

  ．
  组卷：114引用：3难度：0.7

  解析

• 6．已知tan（α-

  5

  π

  4

  ）=

  1

  5

  ，则tanα=

  ．
  组卷：6327引用：14难度：0.7

  解析

• 7．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e^x）=x+e^x，则f'（1）=

  ．
  组卷：241引用：3难度：0.7

  解析

三、解答题（14+14+14+16+18）

• 20．已知点A（-1，0）、B（1，0），直线l：ax+by+c=0（其中a,b,c∈R），点P在直线l上．
  （1）若a、b、c是常数列，求|PB|的最小值；
  （2）若a、b、c是成等差数列，且PA⊥l,求|PB|的最大值；
  （3）若a、b、c是成等比数列，且PA⊥l,求|PB|的取值范围．
  组卷：453引用：3难度：0.5

  解析

• 21．已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x,y=f′（x）为y=f（x）的导数．
  （1）求曲线y=f（x）在

  （

  π

  2

  ，

  f

  （

  π

  2

  ）

  ）

  处的切线方程；
  （2）证明：y=f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
  （3）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax,求a的取值范围．
  组卷：122引用：4难度：0.4

  解析