2022-2023学年北京市房山中学高三（上）期中数学试卷

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．已知集合A={x|-3＜x≤2}，B={x|-2＜x≤3}，则A∪B=（　　）

  A．（-3，3]

  B．（-3，3）

  C．（-3，2]

  D．（-2，2]
  组卷：83引用：3难度：0.8

  解析

• 2．已知向量

  a

  =（2，-1），

  b

  =（3，x）．若

  a

  •

  b

  =3，则x=（　　）

  A．6

  B．5

  C．4

  D．3
  组卷：338引用：5难度：0.9

  解析

• 3．已知命题p：∀x≥0，2^x=3，则（　　）

  A．￢p：∀x＜0，2x≠3	B．￢p：∀x≥0，2x≠3
  C．￢p：∃x＜0，2x≠3	D．¬p：∃x≥0，2x≠3
  组卷：7引用：1难度：0.7

  解析

• 4．要得到函数y=sin（2x+

  π

  3

  ）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）

  A．向左平移 π 3 个单位	B．向左平移 π 6 个单位
  C．向右平移 π 3 个单位	D．向右平移 π 6 个单位
  组卷：3144引用：60难度：0.9

  解析

• 5．设a=

  （

  1

  2

  ）

  1

  3

  ，b=log₂

  1

  3

  ，c=log₂3，则（　　）

  A．a＞b＞c

  B．c＞a＞b

  C．a＞c＞b

  D．c＞b＞a
  组卷：42引用：3难度：0.9

  解析

• 6．在△ABC中，a=2，∠A=

  π

  6

  ，b=2

  3

  ，则∠C=（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 6 或 π 2

  D． π 3 或 π 2
  组卷：14引用：4难度：0.7

  解析

• 7．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（　　）

  A． 3 π

  B．2π

  C． 2 3 π

  D． 4 3 π
  组卷：229引用：8难度：0.6

  解析

三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 20．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  -

  a

  +

  a

  x

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  ．
  （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与x轴相切，求a的值；
  （Ⅱ）求函数f（x）在区间（1，e）上的零点个数；
  （Ⅲ）若∀x₁，x₂∈（1，e），（x₁-x₂）（|f（x₁）|-|f（x₂）|）＞0，试写出a的取值范围．（只需写出结论）
  组卷：134引用：3难度：0.2

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• 21．设集合A_2n={1，2，3，…，2n}（n∈N^*，n≥2）．如果对于A_2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A_2n的一个“相关数”．
  （Ⅰ）当n=3时，判断5和6是否为集合A₆的“相关数”，说明理由；
  （Ⅱ）若m为集合A_2n的“相关数”，证明：m-n-3≥0；
  （Ⅲ）给定正整数n.求集合A_2n的“相关数”m的最小值．
  组卷：216引用：6难度：0.3

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