2023-2024学年山东师大附中幸福柳分校高一（上）期中数学试卷

一、单选题（共40分）

• 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a,b为非零实数，且a＞b,则下列结论正确的是（　　）

  A．ac2＞bc2

  B． 1 a b 2 ＞ 1 a 2 b

  C．a2＞b2

  D． b a ＞ a b
  组卷：41引用：4难度：0.7

  解析

• 2．下列函数中与函数y=x相等的函数是（　　）

  A． y = （ x ） 2

  B． y = x 2

  C． y = x 2 x

  D． y = （ 3 x ） 3
  组卷：350引用：18难度：0.7

  解析

• 3．已知集合M={（x,y）|x+y=2}，N={（x,y）|x-y=4}，那么M∩N为（　　）

  A．x=3，y=-1

  B．（3，-1）

  C．{3，-1}

  D．{（3，-1）}
  组卷：2315引用：119难度：0.9

  解析

• 4．命题“∀x∈R，x-|x|≥0”的否定是（　　）

  A．∃x∈R，x-|x|＜0

  B．∀x∈R，x-|x|≥0

  C．∃x∈R，x-|x|≥0

  D．∀x∈R，x-|x|＜0
  组卷：202引用：20难度：0.8

  解析

• 5．下列命题中错误的是（　　）

  A．当x＞0时， x + 1 x ≥ 2

  B．当x＞2时， x + 1 x 的最小值为2

  C．当0＜x＜4时， x （ 4 - x ） ≤ 2

  D．当 x ＜ 3 2 时， 2 x - 1 + 4 2 x - 3 ≤ - 2
  组卷：92引用：2难度：0.6

  解析

• 6．已知函数f（x）=

  - x + 3 a , x ≥ 0

  x 2 - ax + 1 ， x ＜ 0

  是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）

  A．[0， 1 3 ]

  B．（0， 1 3 ）

  C．（0， 1 3 ]

  D．[0， 1 3 ）
  组卷：360引用：7难度：0.9

  解析

• 7．定义区间（a,b），[a,b），（a,b]，[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x∈R．设

  f

  （

  x

  ）

  =

  [

  x

  ]

  •

  {

  x

  }

  ，

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  -

  1

  ，当-2≤x≤k时，不等式f（x）＜g（x）解集的区间长度为

  107

  105

  ，则实数k的最小值为（　　）

  A． 30 7

  B． 16 3

  C．6

  D．7
  组卷：40引用：4难度：0.6

  解析

四、解答题（共65分）

• 21．若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a,b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a,b]时，f（x）的取值范围恰为[a,b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a,b]叫做等域区间．
  （1）是否存在实数m,使得函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
  （2）若h（x）=x²+2mx+m,且不等式a≤h（x）≤b的解集恰为[a,b]（a,b∈Z），求函数h（x）的解析式．并判断[a,b]是否为函数h（x）的等域区间．
  组卷：130引用：5难度：0.5

  解析

• 22．设正实数a、b、c满足：abc=1，求证：对于整数k≥2，有

  a

  k

  a

  +

  b

  +

  b

  k

  b

  +

  c

  +

  c

  k

  c

  +

  a

  ≥

  3

  2

  ．
  组卷：17引用：2难度：0.5

  解析