2022-2023学年湖南省名校联盟高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合A={x|x²-2x-3≤0，x∈Z}，

  B

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  1

  4

  -

  x

  2

  }

  ，则A∩B真子集的个数为（　　）

  A．7

  B．8

  C．15

  D．16
  组卷：66引用：2难度：0.7

  解析

• 2．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e^ix=cosx+isinx（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，化简

  （

  e

  π

  4

  i

  ）

  2024

  +

  e

  π

  2

  i

  的结果为（　　）

  A．2

  B．2i

  C．1+i

  D．1-i
  组卷：7引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知

  α

  ∈

  （

  π

  ，

  3

  π

  2

  ）

  ，且

  sin

  （

  α

  -

  π

  4

  ）

  =

  m

  （

  m

  ＞

  0

  ）

  ，则

  tan

  （

  α

  -

  π

  4

  ）

  =（　　）

  A． m 1 - m 2

  B． - m 1 - m 2

  C． 1 - m 2 m

  D． - 1 - m 2 m
  组卷：91引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知向量

  a

  、

  b

  满足

  |

  a

  +

  b

  |

  =

  |

  a

  -

  2

  b

  |

  ，

  |

  b

  |

  =

  1

  ，则

  |

  a

  |

  cos

  〈

  a

  ，

  b

  〉

  =（　　）

  A．-2

  B．2

  C． 3 2

  D． 1 2
  组卷：24引用：2难度：0.7

  解析

• 5．“五一”假期期间，某旅游景区为加强游客的安全工作，决定增派甲、乙、丙、丁四位工作人员到A、B、C三个景点进行安全防护宣传，增派的每位工作人员必须到一个景点，且只能到一个景点做安全防护宣传，每个景点至少增派一位工作人员．因工作需要，乙不能去A景点，甲和乙不能同去一个景点，则不同的安排方法数为（　　）

  A．20

  B．30

  C．42

  D．60
  组卷：34引用：2难度：0.8

  解析

• 6．已知圆O：x²+y²=1，点P在直线l：

  x

  -

  y

  -

  2

  2

  =

  0

  上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，记劣弧

  ˆ

  AB

  及PA，PB所围成的平面图形的面积为S，则（　　）

  A．2＜S＜3

  B．1＜S≤2

  C．1＜S≤3

  D．0＜S＜1
  组卷：93引用：2难度：0.4

  解析

• 7．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{a_n}本身不是等差数列，但从{a_n}数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{b_n}（则称数列{a_n}为一阶等差数列），或者{b_n}仍旧不是等差数列，但从{b_n}数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{c_n}（则称数列{a_n}为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列{a_n}：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则

  10

  ∑

  n

  =

  1

  lo

  g

  3

  a

  n

  的值为（参考公式：

  1

  2

  +

  2

  2

  +

  …

  n

  2

  =

  n

  6

  （

  n

  +

  1

  ）

  （

  2

  n

  +

  1

  ）

  ）（　　）

  A．60

  B．120

  C．240

  D．480
  组卷：84引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点M（m,1）到焦点的距离为2．
  （1）求抛物线C的方程；
  （2）过点（-1，0）的直线交抛物线C于A，B两点，点Q（0，-2），连接QA交抛物线C于另一点E，连接QB交抛物线C于另一点F，且△QAB与△QEF的面积之比为1：3，求直线AB的方程．
  组卷：84引用：3难度：0.2

  解析

• 22．已知函数f（x）=ae^x-x²+3（a∈R）．
  （1）若方程f（x）=0有3个零点，求实数a的取值范围；
  （2）若φ（x）=-x²+2x+4-f（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：

  0

  ＜

  a

  ＜

  2

  e

  e

  ，且

  2

  x

  2

  +

  1

  2

  x

  1

  +

  1

  ＜

  e

  x

  2

  -

  e

  -

  x

  1

  x

  2

  +

  x

  1

  ．
  组卷：44引用：2难度：0.2

  解析