2023-2024学年黑龙江龙西北高中名校联盟高三（上）开学数学试卷

一、单选题（8小题，共40分）

• 1．已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，B={x|-1＜x＜3}，则A∩B的真子集的个数为（　　）

  A．7

  B．8

  C．15

  D．16
  组卷：15引用：2难度：0.7

  解析

• 2．设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=-1+i,则z•

  z

  为（　　）

  A． 2

  B．1

  C．3

  D． 3 2
  组卷：114引用：5难度：0.8

  解析

• 3．已知关于x的一元二次不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，则不等式

  ax

  +

  b

  cx

  +

  a

  ＞

  0

  的解集为（　　）

  A． { x | - 1 3 ＜ x ＜ 4 }	B． { x | - 4 ＜ x ＜ - 1 3 }
  C． { x | x ＜ - 1 3 或 x ＞ 4 }	D． { x | x ＜ - 4 或 x ＞ - 1 3 }
  组卷：157引用：12难度：0.6

  解析

• 4．已知向量

  a

  =

  （

  cosθ

  ，

  sinθ

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，-

  1

  ）

  ，若

  a

  ⊥

  b

  ，则

  co

  s

  2

  θ

  +

  1

  2

  sin

  2

  θ

  的值为（　　）

  A． 1 3

  B． 3 5

  C． 4 5

  D． 2 3
  组卷：230引用：7难度：0.7

  解析

• 5．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F为线段AC的中点，则异面直线A₁D与B₁F所成角的大小为（　　）

  A． π 3

  B． π 4

  C． π 6

  D． π 12
  组卷：536引用：5难度：0.9

  解析

• 6．设定义在R上的函数y=f（x），满足任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），且x∈（0，4]时，xf'（x）＞f（x），则f（2021），

  f

  （

  2022

  ）

  2

  ，

  f

  （

  2023

  ）

  3

  的大小关系是（　　）

  A．f（2021）＜ f （ 2022 ） 2 ＜ f （ 2023 ） 3

  B． f （ 2022 ） 2 ＜f（2021）＜ f （ 2023 ） 3

  C． f （ 2023 ） 3 ＜ f （ 2022 ） 2 ＜f（2021）

  D． f （ 2023 ） 3 ＜f（2021）＜ f （ 2022 ） 2
  组卷：113引用：4难度：0.6

  解析

• 7．将编号为1，2，3，4，5，6的小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（　　）

  A．90

  B．135

  C．270

  D．360
  组卷：543引用：5难度：0.8

  解析

四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）

• 21．从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
  （1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；
  （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为p_n，n=1，2，3，⋯，
  ①直接写出p₁，p₂，p₃的值；
  ②求p_n+1与p_n的关系式（n∈N^*），并求p_n（n∈N^*）．
  组卷：631引用：7难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
  （1）讨论f（x）的单调性；
  （2）若关于x的方程（a+x）lnx-ax²-xf（x）=0有两个相异的实数根x₁，x₂．求证：

  x

  1

  x

  2

  ＞

  e

  ．
  组卷：75引用：2难度：0.3

  解析