2022-2023学年上海市闵行中学文绮中学高三（上）开学数学试卷

一、填空题

• 1．已知集合A={y|y=x²}，B={y|y=2^x}，则A∩B=

  ．
  组卷：15引用：4难度：0.9

  解析

• 2．函数y=sin2xcos2x的最小正周期是

  ．
  组卷：405引用：48难度：0.9

  解析

• 3．复数

  3

  -

  4

  i

  i

  （i为虚数单位）的模为

   

  ．
  组卷：53引用：5难度：0.9

  解析

• 4．二项式

  （

  x

  2

  +

  1

  x

  ）

  5

  展开式中x的系数为

  ．
  组卷：393引用：10难度：0.9

  解析

• 5．已知x∈R，且x≠0，则x²+x^-2的取值范围是

  ．
  组卷：100引用：2难度：0.8

  解析

• 6．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若AB=BC=1，AA₁=

  2

  ，则异面直线BD₁与CC₁所成角的大小为

  ．
  组卷：431引用：7难度：0.7

  解析

• 7．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-7n,且满足16＜a_k+a_k+1＜22，则正整数k=

  ．
  组卷：314引用：14难度：0.7

  解析

三、解答题

• 20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

  Γ

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A在椭圆Γ上且在第一象限内，AF₂⊥F₁F₂，直线AF₁与椭圆Γ相交于另一点B，△AF₁F₂的周长为6．
  （1）求椭圆Γ的方程；
  （2）在x轴上任取一点P，直线AP与直线x=a²相交于点Q，求

  OP

  •

  PQ

  的最大值；
  （3）设点M在椭圆Γ上，记△OAB与△MAB的面积分别为S₁、S₂，且S₂=λS₁，若满足条件的点M恰有3个，求实数λ的值．
  组卷：39引用：2难度：0.6

  解析

• 21．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若存在常数T＞0，使得对任意x∈（0，+∞），都有f（Tx）=f（x）+T，则称函数f（x）具有性质P（T）．
  （1）若函数f（x）具有性质P（2），求

  f

  （

  2

  ）

  -

  f

  （

  1

  2

  ）

  的值；
  （2）设f（x）=log_ax,若0＜a＜1，求证：存在常数T＞0，使得f（x）具有性质P（T）；
  （3）若函数f（x）具有性质P（T），且f（x）的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数f（x）在（0，+∞）上存在零点．
  组卷：199引用：4难度：0.3

  解析