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2023-2024学年湖南省长沙市周南中学高二（上）第一次月考数学试卷

发布：2024/9/9 10:0:8

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知log₂x=3，则x的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
组卷：279引用：2难度：0.8
解析
2．某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（　　）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
组卷：201引用：6难度：0.7
解析
3．已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直，垂足为（2，p），则p-m-n的值为（　　）
A．-6 B．6 C．4 D．10
组卷：71引用：9难度：0.9
解析
4．如图，已知圆柱O₁O₂的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O₂、圆O₁上的点，若AB=2，则异面直线O₁B，O₂A所成的角为（　　）
A．
π
6
B．
π
3
C．
2
π
3
D．
5
π
6
组卷：215引用：8难度：0.5
解析
5．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD₁的距离为（　　）
A．
1
2
B．
2
2
C．
1
3
D．
1
6
组卷：216引用：18难度：0.6
解析
6．某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为（　　）
A．661.5，169.5 B．661，187
C．661，175 D．660，180
组卷：142引用：4难度：0.8
解析
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为S，且a=1，4S=b²+c²-1，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
π
2
组卷：550引用：18难度：0.6
解析

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四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BCC₁B₁为正方形，平面BCC₁B₁⊥平面ABB₁A₁，AB=BC=2，M，N分别为A₁B₁，AC的中点．
（1）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）若AB⊥MN，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
组卷：462引用：7难度：0.4
解析
22．已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．
（1）求a、b的值；
（2）设
f
（
x
）
=
g
（
x
）
x
．
①若x∈[-1，1]时，f（2^x）-k•2^x≥0，求实数k的取值范围；
②若方程
f
（
|
2
x
-
1
|
）
+
k
•
2
|
2
x
-
1
|
-
3
k
=
0
有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
组卷：772引用：10难度：0.3
解析