2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县五校联考九年级（上）第一次月考数学试卷

一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）

• 1．若y=

  x

  -

  3

  +

  6

  -

  2

  x

  -

  4

  ，则点P（x,y）在（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：758引用：8难度：0.7

  解析

• 2．计算：

  （

  30

  +

  21

  -

  3

  ）

  （

  3

  +

  10

  -

  7

  ）

  的值等于（　　）

  A． 6 7

  B． - 6 7

  C． 20 3 + 6 7

  D． 20 3 - 6 7
  组卷：1193引用：7难度：0.9

  解析

• 3．如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为S_甲，S_乙，有如下三个结论：
  ①正方形ABCD的面积等于S_甲的一半；
  ②正方形EFGH的面积等于S_乙的一半；
  ③S_甲：S_乙=9：10．
  上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

  A．①②

  B．②③

  C．③

  D．①②③
  组卷：865引用：7难度：0.5

  解析

• 4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC=6，BC=8，则EF的长为（　　）
  

  A．2

  B．1

  C．4

  D． 5 2
  组卷：1413引用：15难度：0.5

  解析

• 5．已知一元二次方程a（x+m）²+n=0（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程a（x+m-2）²+n=0（a≠0）的两根分别为（　　）

  A．1，5

  B．-1，3

  C．-3，1

  D．-1，5
  组卷：10815引用：39难度：0.3

  解析

• 6．已知a＞b,则

  a

  a

  -

  b

  -

  （

  b

  -

  a

  ）

  2

  a

  的化简结果是（　　）

  A． a

  B．- a

  C． - a

  D．- - a
  组卷：904引用：3难度：0.5

  解析

• 7．已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒

  2

  个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（　　）秒．

  A． 5 2

  B． 4 2

  C．5

  D．4
  组卷：215引用：2难度：0.5

  解析

三．解答题（共6小题，满分60分）

• 20．阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
  材料1：若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为x₁，x₂，则

  x

  1

  +

  x

  2

  =

  -

  b

  a

  ，

  x

  1

  x

  2

  =

  c

  a

  ．
  材料2：已知实数m,n满足m²-m-1=0，n²-n-1=0，且m≠n,求

  n

  m

  +

  m

  n

  的值．
  解：由题知m,n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=1，mn=-1，所以

  n

  m

  +

  m

  n

  =

  m

  2

  +

  n

  2

  mn

  =

  （

  m

  +

  n

  ）

  2

  -

  2

  mn

  mn

  =

  1

  +

  2

  -

  1

  =

  -

  3

  ．
  （1）材料理解：一元二次方程5x²+10x-1=0两个根为x₁，x₂，则：x₁+x₂=

  ，x₁x₂=

  ．
  （2）类比探究：已知实数m,n满足7m²-7m-1=0，7n²-7n-1=0，且m≠n,求m²n+mn²的值．
  （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足7s²+7s+1=0，t²+7t+7=0，且st≠1．求

  2

  st

  +

  7

  s

  +

  2

  t

  的值．
  组卷：1184引用：11难度：0.5

  解析

• 21．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．
  （1）如图1，点E在线段AB上时，
  ①求证：AE=CF；
  ②求证：DP垂直平分EF；
  （2）当AE=1时，求PQ的长．
  
  组卷：3645引用：13难度：0.3

  解析