2023-2024学年河南省洛阳第一高级中学高二（上）期中数学试卷（A卷）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  4

  ，

  x

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，

  y

  ,

  2

  ）

  ，若

  |

  a

  |

  =

  6

  ，

  a

  ⊥

  b

  ，则x+y=（　　）

  A．-3

  B．-2

  C．1

  D．2
  组卷：73引用：4难度：0.7

  解析

• 2．一入射光线经过点M（2，6），被直线l：x-y+3=0反射，反射光线经过点N（-3，4），则反射光线所在直线方程为（　　）

  A．2x-y+13=0

  B．6x-y+22=0

  C．x-3y+15=0

  D．x-6y+27=0
  组卷：331引用：9难度：0.7

  解析

• 3．已知椭圆

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  16

  =

  1

  的左、右焦点分别为B、C、A为椭圆上的一点（不在x轴上），则△ABC面积的最大值是（　　）

  A．15

  B．12

  C．6

  D．3
  组卷：271引用：8难度：0.7

  解析

• 4．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  2

  =

  1

  的渐近线相交于A、B两点，若△ABF的周长为

  4

  2

  ，则p=（　　）

  A．2

  B． 2 2

  C．8

  D．4
  组卷：586引用：6难度：0.7

  解析

• 5．已知圆C过圆C₁：x²+y²+4x-2y-10=0与圆C₂：（x+3）²+（y-3）²=6的公共点，若圆C₁，C₂的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（　　）

  A． 11 π 5

  B． 26 π 5

  C． 130 π 5

  D． 104 π 5
  组卷：296引用：8难度：0.7

  解析

• 6．已知椭圆C过点（3，0），且离心率为

  6

  3

  ，则椭圆C的标准方程为（　　）

  A． x 2 9 + y 2 3 = 1

  B． y 2 27 + x 2 9 = 1

  C． x 2 9 + y 2 3 = 1 或 x 2 3 + y 2 9 = 1

  D． x 2 9 + y 2 3 = 1 或 y 2 27 + x 2 9 = 1
  组卷：326引用：7难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 19．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆C的焦点在y轴上，中心在原点，从下焦点F₁射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点F₂，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为

  3

  ，已知椭圆的离心率

  e

  ＜

  2

  2

  ．
  （1）求椭圆C的标准方程．
  （2）若从椭圆C的中心O出发的两束光线OM，ON，分别穿过椭圆上的A，B两点后射到直线y=4上的M，N两点，若AB连线过椭圆的上焦点F₂，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由．
  组卷：83引用：4难度：0.5

  解析

• 20．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为4，△A₁BC的面积为

  2

  2

  ．
  （1）求A到平面A₁BC的距离；
  （2）设D为A₁C的中点，AA₁=AB，平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁，求二面角A-BD-C的正弦值．
  组卷：12898引用：30难度：0.5

  解析