2023-2024学年北京市东城区东直门中学高三（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x²-x-6≥0}，则M∩N=（　　）

  A．{-2，-1，0，1}

  B．{0，1，2}

  C．{-2}

  D．{2}
  组卷：5245引用：58难度：0.9

  解析

• 2．已知z=

  1

  -

  i

  2

  +

  2

  i

  ，则z-

  z

  =（　　）

  A．-i

  B．i

  C．0

  D．1
  组卷：4757引用：44难度：0.9

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（1，1），

  b

  =（1，-1）．若（

  a

  +λ

  b

  ）⊥（

  a

  +μ

  b

  ），则（　　）

  A．λ+μ=1

  B．λ+μ=-1

  C．λμ=1

  D．λμ=-1
  组卷：5676引用：33难度：0.7

  解析

• 4．已知

  a

  =

  e

  1

  2

  ，

  b

  =

  ln

  1

  2

  ，

  c

  =

  sin

  1

  2

  ，则（　　）

  A．a＞b＞c

  B．b＞c＞a

  C．c＞a＞b

  D．a＞c＞b
  组卷：637引用：8难度：0.8

  解析

• 5．设椭圆C₁：

  x

  2

  a

  2

  +y²=1（a＞1），C₂：

  x

  2

  4

  +y²=1的离心率分别为e₁，e₂．若e₂=

  3

  e₁，则a=（　　）

  A． 2 3 3

  B． 2

  C． 3

  D． 6
  组卷：6015引用：8难度：0.7

  解析

• 6．过点（0，-2）与圆x²+y²-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（　　）

  A．1

  B． 15 4

  C． 10 4

  D． 6 4
  组卷：5330引用：24难度：0.7

  解析

• 7．已知不共线的两个非零向量

  a

  ，

  b

  ，则“

  a

  +

  b

  与

  a

  -

  b

  所成角为钝角”是“

  |

  a

  |

  ＜

  |

  b

  |

  ”的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：94引用：4难度：0.8

  解析

四、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 20．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  的离心率为

  2

  2

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）当椭圆焦点在x轴上时，直线l：y=kx-1与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为

  2

  2

  的直线与l交于点M，点N满足PN∥x轴，MN⊥x轴，求证：点N在直线

  y

  =

  2

  2

  x

  +

  1

  上．
  组卷：88引用：3难度：0.2

  解析

• 21．对于给定的正整数m和实数a,若数列{a_n}满足如下两个性质：①a₁+a₂+⋯+a_m=a；②对∀n∈N^*，a_n+m=a_n，则称数列{a_n}具有性质P_m（a）．
  （Ⅰ）若数列{a_n}具有性质P₂（1），求数列{a_n}的前10项和；
  （Ⅱ）对于给定的正奇数t,若数列{a_n}同时具有性质P₄（4）和P_t（t），求数列{a_n}的通项公式；
  （Ⅲ）若数列{a_n}具有性质P_m（a），求证：存在自然数N，对任意的正整数k,不等式

  a

  N

  +

  1

  +

  a

  N

  +

  2

  +

  ⋯

  +

  a

  N

  +

  k

  k

  ≥

  a

  m

  均成立．
  组卷：203引用：8难度：0.3

  解析