2022-2023学年北京市清华大学附中高一（下）期中数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．设集合A={x|x²≤1}，B={x|lnx＜1}，则A∩B等于（　　）

  A．{x|-1≤x≤1}

  B．{x|0＜x≤1}

  C．{x|-1≤x＜e}

  D．{x|0＜x＜e}
  组卷：45引用：2难度：0.8

  解析

• 2．若点P（-1，1）在角α的终边上，则

  sin

  （

  α

  +

  π

  4

  ）

  =（　　）

  A．-1

  B． - 2 2

  C．0

  D．1
  组卷：168引用：2难度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  0

  ）

  ，

  a

  +

  b

  =

  （

  2

  ，-

  3

  ）

  ，则向量

  a

  与

  b

  的夹角为（　　）

  A． - π 3

  B． π 6

  C． π 3

  D． 2 π 3
  组卷：168引用：2难度：0.8

  解析

• 4．当

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ]

  时，

  f

  （

  x

  ）

  =

  4

  sinx

  +

  1

  sinx

  的最小值为（　　）

  A．5

  B．4

  C．2

  D．1
  组卷：163引用：2难度：0.8

  解析

• 5．在△ABC中，AB=3，

  ∠

  BAC

  =

  π

  3

  ，边AB上的高为

  3

  ，则BC=（　　）

  A．2

  B． 5

  C．3

  D． 7
  组卷：174引用：2难度：0.9

  解析

• 6．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期是π，且图象关于点

  （

  π

  6

  ，

  0

  ）

  对称，则符合条件的一个φ的值为（　　）

  A． - π 3

  B．0

  C． π 6

  D． π 3
  组卷：284引用：3难度：0.7

  解析

• 7．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  e

  x

  ，则f（-1），f（1.1），f（2）的大小关系是（　　）

  A．f（1.1）＜f（2）＜f（-1）	B．f（2）＜f（1.1）＜f（-1）
  C．f（2）＜f（-1）＜f（1.1）	D．f（1.1）＜f（-1）＜f（2）
  组卷：126引用：2难度：0.5

  解析

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 20．已知函数f（x）=ae^x-1-lnx+lna-1，其中a＞0．
  （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线是x轴，求a的值；
  （2）当a=1时，求证：f（x）≥0；
  （3）若对∀x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
  组卷：70引用：2难度：0.3

  解析

• 21．设k是正整数，集合A至少有两个元素，且A⊆N^*．如果对于A中的任意两个不同的元素x,y,都有|x-y|≠k,则称A具有性质P（k）．
  （1）试判断集合B={1，2，3，4}和C={1，4，7，10}是否具有性质P（2）？并说明理由；
  （2）若集合A={a₁，a₂，⋯，a₁₂}⊆{1，2，⋯，20}，求证：A不可能具有性质P（3）；
  （3）若集合A⊆{1，2，⋯，2023}，且同时具有性质P（4）和P（7），求集合A中元素个数的最大值．
  组卷：864引用：8难度：0.1

  解析