2023-2024学年江苏省苏州市张家港市沙洲中学高二（上）开学数学试卷

一、单选题（每小题5分，共40分）

• 1．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=a_n+1-a_n，n∈N^*，则a₂₀₂₃=（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．1

  D．2
  组卷：123引用：5难度：0.6

  解析

• 2．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10，…构成数列{a_n}，记a_n为该数列的第n项，则a₆₃=（　　）

  A．2016

  B．4032

  C．2020

  D．4040
  组卷：107引用：9难度：0.8

  解析

• 3．已知数列{a_n}满足

  a

  n

  =

  3

  2

  n

  -

  11

  ，前n项的和为S_n，关于a_n，S_n叙述正确的是（　　）

  A．an，Sn都有最小值	B．an，Sn都没有最小值
  C．an，Sn都有最大值	D．an，Sn都没有最大值
  组卷：1184引用：10难度：0.9

  解析

• 4．设等比数列{a_n}的各项均为正数，前n项和S_n，若a₁=1，S₅=5S₃-4，则S₄=（　　）

  A． 15 8

  B． 65 8

  C．15

  D．40
  组卷：552引用：6难度：0.7

  解析

• 5．等差数列{a_n}中，S_n为它的前n项和，若a₁＞0，S₂₀＞0，S₂₁＜0，则当n=（　　）时，S_n最大．

  A．8

  B．9

  C．10

  D．11
  组卷：330引用：6难度：0.8

  解析

• 6．已知函数f（x）=（x-1）³+2，数列{a_n}为等比数列，a_n＞0，且a₁₀₀₉=e,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，则f（lna₁）+f（lna₂）+…+f（lna₂₀₁₇）=（　　）

  A． 2017 2

  B．2017

  C．4034

  D．8068
  组卷：159引用：4难度：0.5

  解析

• 7．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形ABCD边长为a₁，后续各正方形边长依次为a₂，a₃，…，a_n，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为b₁，后续各直角三角形面积依次为b₂，b₃，…，b_n，…．下列说法错误的是（　　）
  

  A．从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为 129 4

  B． a n = 4 × （ 10 4 ） n - 1

  C．使得不等式 b n ＞ 1 2 成立的n的最大值为4

  D．数列{bn}的前n项和Sn＜4
  组卷：64引用：3难度：0.4

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四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）

• 21．已知数列{a_n}中，a₁=2，

  a

  n

  +

  1

  =

  2

  -

  1

  a

  n

  ．
  （1）证明数列

  {

  1

  a

  n

  -

  1

  }

  是等差数列，并求通项公式a_n；
  （2）若对任意n∈N^*，都有

  a

  2

  1

  •

  a

  2

  2

  •

  a

  2

  3

  ⋯

  a

  2

  n

  ≤

  k

  •

  2

  n

  成立，求k的取值范围．
  组卷：261引用：5难度：0.4

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• 22．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为a₁，且

  1

  2

  、

  a

  n

  、

  S

  n

  成等差数列．
  （1）证明：数列{a_n}是等比数列，并写出通项公式；
  （2）若b_n=-2log₂a_n，设

  c

  n

  =

  b

  n

  a

  n

  ，求数列{c_n}的前n项和T_n；
  （3）若不等式

  3

  n

  -

  2

  8

  n

  T

  n

  ≤

  m

  2

  -

  m

  -

  1

  对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
  组卷：31引用：3难度：0.4

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