2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）第一次适应性数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

• 1．已知复数z满足z=3-i（其中i为虚数单位），则|z|=（　　）

  A． 5

  B． 10

  C．4

  D． 10 2
  组卷：56引用：6难度：0.8

  解析

• 2．△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a,b,c,若a²+b²-c²=ab,则角C的大小为（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 2

  D． 2 π 3
  组卷：540引用：16难度：0.9

  解析

• 3．已知平面向量

  a

  =

  （

  sinθ

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  cosθ

  ，-

  2

  ）

  ，若

  a

  ∥

  b

  ，则tanθ=（　　）

  A． - 1 2

  B．-2

  C．2

  D． 1 2
  组卷：588引用：10难度：0.8

  解析

• 4．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  xcosx

  e

  |

  x

  |

  的图象大致为（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：257引用：9难度：0.7

  解析

• 5．已知正实数a,b满足a+2b=1，则

  1

  a

  +

  8

  b

  的最小值为（　　）

  A．8

  B．17

  C．20

  D．25
  组卷：924引用：4难度：0.7

  解析

• 6．如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD，该四棱锥的体积为

  4

  2

  3

  ，则该半球的体积为（　　）

  A． 2 3 π

  B． 4 2 9 π

  C． 4 2 3 π

  D． 8 2 3 π
  组卷：217引用：6难度：0.6

  解析

• 7．已知f（x）是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，则满足f（sinx）＜f（cosx）的一个区间是（　　）

  A． （ π 4 ， π 2 ）

  B． （ 3 π 4 ， π ）

  C． （ - 5 π 4 ， 3 π 2 ）

  D． （ 3 π 2 ， 7 π 4 ）
  组卷：38引用：4难度：0.6

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

• 21．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=AA₁=1，

  AB

  =

  2

  ，

  cos

  ∠

  ACB

  =

  3

  3

  ，P为线段BC₁上的动点．
  （1）当P为线段BC₁上的中点时，求三棱锥B-PAC的体积；
  （2）当P在线段BC₁上移动时，求AP+CP的最小值．
  组卷：370引用：8难度：0.4

  解析

• 22．定义非零向量

  OM

  =（a,b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量

  OM

  =（a,b）称为函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R）的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
  （1）设h（x）=

  3

  cos（x+

  π

  6

  ）+3cos（

  π

  3

  -x）（x∈R），请问函数h（x）是否存在相伴向量

  OM

  ，若存在，求出与

  OM

  共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
  （2）已知点M（a,b）满足：

  b

  a

  ∈

  （

  0

  ，

  3

  ]，向量

  OM

  的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值，求tan2x₀的取值范围．
  组卷：404引用：8难度：0.1

  解析