2023年湖南省长沙实验中学高考数学二模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={x∈Z|-1≤x≤3}，B={x|x²-3x＜0}，则A∩B=（　　）

  A．{1，2}

  B．{x|0＜x＜3}

  C．{1，2，3}

  D．{2，3}
  组卷：153引用：7难度：0.8

  解析

• 2．已知a∈R，i为虚数单位，若

  a

  -

  i

  3

  +

  i

  为实数，则a=（　　）

  A．-3

  B． 1 3

  C．3

  D． - 1 3
  组卷：273引用：13难度：0.9

  解析

• 3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（　　）

  A． 5 3 寸

  B．2寸

  C． 7 3 寸

  D．3寸
  组卷：179引用：6难度：0.7

  解析

• 4．已知单位向量

  a

  ，

  b

  的夹角为60°，则向量

  a

  +

  b

  在

  a

  方向上的投影向量为（　　）

  A． 1 2 a

  B． - 1 2 b

  C． 3 2 a

  D． - 1 2 a
  组卷：203引用：3难度：0.8

  解析

• 5．正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入，sec,csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割

  secα

  =

  1

  cosα

  ，余割

  cscα

  =

  1

  sinα

  ．则函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  secx

  +

  1

  cscx

  的值域为（　　）

  A．[-1，1]	B． [ - 2 ， 2 ]
  C．[-2，2]	D． [ - 2 ，- 1 ） ∪ （ - 1 ， 1 ） ∪ （ 1 ， 2 ]
  组卷：119引用：2难度：0.6

  解析

• 6．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第十层有（　　）个球．

  A．12

  B．20

  C．55

  D．110
  组卷：33引用：3难度：0.7

  解析

• 7．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若

  A

  =

  π

  4

  ，则

  BA

  •

  BC

  的最大值为（　　）

  A． 2 + 1

  B． 2 2

  C．2

  D． 1 - 2
  组卷：159引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁，A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
  （1）求k的取值范围；
  （2）记直线P₁A₁的斜率为k₁，直线P₂A₂的斜率为k₂，那么k₁k₂是定值吗？证明你的结论．
  组卷：166引用：2难度：0.2

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  2

  +

  alnx

  -

  2

  x

  ．
  （1）讨论f（x）的单调性；
  （2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．f（x₁）+f（x₂）＜-3e^-2-2恒成立．
  ①求a的取值范围；
  ②证明：

  f

  （

  x

  ）

  ＜

  1

  2

  x

  2

  +

  （

  a

  -

  1

  ）

  lnx

  -

  （

  a

  +

  2

  ）

  x

  +

  x

  e

  x

  -

  1

  ．
  组卷：174引用：3难度：0.5

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