2022-2023学年上海市杨浦区复旦大学附中高二（下）期中数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．事件A与事件B是独立的，且P（A）=

  1

  2

  ，

  P

  （

  B

  ）

  =

  1

  3

  ，则P（A∩B）=

  ．
  组卷：125引用：2难度：0.8

  解析

• 2．在100个人中，其中45人为女性，55人为男性，计划抽取20人测量身高．若按性别进行分层随机抽样，则应该抽取

  位男性测量身高．
  组卷：44引用：1难度：0.8

  解析

• 3．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ²），若P（X＞a）=P（X＜a），则a=

  ．
  组卷：114引用：3难度：0.7

  解析

• 4．（1-3x）⁷的展开式中，x²项的系数为

  ．
  组卷：29引用：1难度：0.7

  解析

• 5．已知一组数据a₁，a₂，…，a_n的平均数为6，那么2a₁+5，2a₂+5，…，2a_n+5的平均数为

  ．
  组卷：116引用：1难度：0.8

  解析

• 6．若曲线y=f（x）=2sinx+384在点

  （

  π

  3

  ，

  f

  （

  π

  3

  ）

  ）

  处的切线与直线y=ax+383垂直，则实数a=

  ．
  组卷：61引用：1难度：0.8

  解析

• 7．从所有三位数中随机取一个，并假设取到每个三位数的可能性是相同的，则取到的是无重复数字的三位数的概率是

  ．
  组卷：39引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共5题，共78分）

• 20．现有一枚均匀的硬币（即只可能出现正面与反面两种结果，抛出正面与反面的概率均为0.5，每一次抛掷是独立的），正面记为H，反面记为T，并不断抛掷该硬币．
  （1）求抛掷3次时，至少出现1次正面的概率
  （2）用X表示抛掷10次后出现正面的次数，求X的期望和方差．
  （3）甲同学选择了组合“HHT”，（即连续地依次出现正面，正面，反面），乙同学选择了组合HTT．若选择的组合先出现，则获得游戏胜利．问：甲乙两人中，甲更有优势还是乙更有优势还是双方都没有优势？并求甲同学获胜的概率．
  组卷：67引用：1难度：0.6

  解析

• 21．已知f（x）=sin（βx）•lnx.
  （1）若

  β

  =

  π

  2

  ，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程．
  （2）若

  β

  =

  π

  2

  ，设g（x）=f（x）-lnx,判断x=1是否是函数y=g（x）的极值点并说明理由．
  （3）设β＞0，点P_n在函数y=f（x）的图像上，且P_n的横坐标

  x

  n

  =

  （

  2

  n

  -

  1

  ）

  π

  2

  β

  ，

  n

  ∈

  N

  *

  ．
  曲线Γ是由所有的线段P_nP_n+1构成的折线图，求证：对于任意的k＞0，直线y=kx与Γ的交点不可能有无穷多个．
  组卷：47引用：1难度：0.2

  解析