2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高三（上）开学数学试卷（9月份）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

• 1．设全集U={x∈R|x≥1}，集合A={x∈R*|x²≥3}，则∁_UA=（　　）

  A．[1， 3 ）

  B．[1， 3 ]

  C．（ 3 ，+∞）

  D．[ 3 ，+∞）
  组卷：127引用：3难度：0.8

  解析

• 2．在复平面内，复数

  z

  =

  1

  +

  2

  i

  i

  对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：60引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（2，3），

  b

  =（3，2），则|

  a

  -

  b

  |=（　　）

  A． 2

  B．2

  C．5 2

  D．50
  组卷：8082引用：46难度：0.8

  解析

• 4．已知f（x）=x-sinx,命题p：∃x∈（0，

  π

  2

  ），f（x）＜0，则（　　）

  A．p是假命题，￢p：∀x∈（0， π 2 ），f（x）≥0

  B．p是假命题，￢p：∃x∈（0， π 2 ），f（x）≥0

  C．p是真命题，￢p：∀x∈（0， π 2 ），f（x）≥0

  D．p是真命题，￢p：∃x∈（0， π 2 ），f（x）≥0
  组卷：24引用：7难度：0.9

  解析

• 5．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与双曲线

  x

  2

  3

  -

  y

  2

  =1的右焦点重合，则p=（　　）

  A． 2

  B．2

  C．2 2

  D．4
  组卷：162引用：12难度：0.9

  解析

• 6．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  a

  x

  +

  2

  的值域为（-∞，0]∪[4，+∞），则a的值是（　　）

  A． 1 2

  B． 3 2

  C．1

  D．2
  组卷：140引用：3难度：0.7

  解析

• 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,若c²=（a-b）²+6，C=

  π

  3

  ，则△ABC的面积是（　　）

  A． 3 3 2

  B． 9 3 2

  C． 3

  D．3 3
  组卷：510引用：17难度：0.7

  解析

三、解答题：本大题共6小题，共85分.

• 20．已知椭圆M：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）过A（-2，0），B（0，1）两点．
  （Ⅰ）求椭圆M的离心率；
  （Ⅱ）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
  组卷：831引用：2难度：0.6

  解析

• 21．已知有限数列{a_n}，从数列{a_n} 中选取第i₁项、第i₂项、……、第i_m项（i₁＜i₂＜…＜i_m），顺次排列构成数列{a_k}，其中b_k=a_k，1≤k≤m,则称新数列{b_k}为{a_n} 的长度为m的子列．规定：数列{a_n} 的任意一项都是{a_n} 的长度为1的子列．若数列{a_n} 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{a_n} 为完全数列．
  设数列{a_n}满足a_n=n,1≤n≤25，n∈N^*．
  （Ⅰ）判断下面数列{a_n} 的两个子列是否为完全数列，并说明由；
  数列 （1）：3，5，7，9，11；数列 （2）：2，4，8，16．
  （Ⅱ）数列{a_n} 的子列{b_k}长度为m,且{b_k}为完全数列，证明：m的最大值为6；
  （Ⅲ）数列{a_n} 的子列{a_k}长度m=5，且{b_k}为完全数列，求

  1

  b

  1

  +

  1

  b

  2

  +

  1

  b

  3

  +

  1

  b

  4

  +

  1

  b

  5

  的最大值．
  组卷：289引用：9难度：0.5

  解析