2022-2023学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期末数学试卷

一、填空题：（本题共有12个小题，每小题3分，满分36分）

• 1．若直线l的一个法向量是

  n

  =（1，-

  3

  ），则直线l的倾斜角的大小为

  ．
  组卷：346引用：3难度：0.7

  解析

• 2．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为

  ．
  组卷：160引用：6难度：0.7

  解析

• 3．已知随机变量X服从二项分布B（5，p）（0＜p＜1），且E[X]=2，则D[X]=

  ．
  组卷：101引用：1难度：0.7

  解析

• 4．已知双曲线

  x

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  b

  ＞

  0

  ）

  的两条渐近线的夹角为

  π

  3

  ，则b=

  ．
  组卷：64引用：2难度：0.6

  解析

• 5．若点 P（1，m）为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，若|PF|=2，则m=

   

  ．
  组卷：84引用：3难度：0.7

  解析

• 6．设E是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点，在棱AA₁上任取一点P，在线段A₁E上任取一点Q，则异面直线PQ与BD所成角的大小为

  ．
  组卷：106引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题：（本题共有4大题，满分48分．解题时要有必要的解题步骤）

• 19．已知椭圆

  Γ

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  1

  2

  ，F₁、F₂为椭圆Γ的左、右焦点，|F₁F₂|=2，P为椭圆上的动点．
  （1）求椭圆Γ的标准方程；
  （2）当∠F₁PF₂取最大值时，求△PF₁F₂的面积；
  （3）已知r为正常数，过动点P作圆x²+y²=r²的切线PQ、PR，记直线PQ、PR的斜率分别为k₁、k₂，是否存在r,使得k₁k₂为定值？若存在，求出r及k₁k₂的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：101引用：1难度：0.6

  解析

• 20．已知定义域为R的函数y=f（x），其导函数为y′=f′（x），满足对任意的x∈R都有|f′（x）|＜1．
  （1）若

  f

  （

  x

  ）

  =

  ax

  +

  sinx

  4

  ，求实数a的取值范围；
  （2）若存在M＞0，对任意x∈R，成立|f（x）|≤M，试判断函数y=f（x）-x的零点个数，并说明理由；
  （3）若存在a、b（a＜b），使得f（a）=f（b），证明：对任意的实数x₁、x₂∈[a,b]，都有

  |

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  |

  ＜

  b

  -

  a

  2

  ．
  组卷：88引用：1难度：0.5

  解析