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2023-2024学年北京市东城区景山学校高三（上）开学数学试卷

发布：2024/7/28 8:0:9

一、选择题（共10小题，共40分）

1．已知集合
A
=
{
x
|
|
x
-
3
2
|
≤
1
}
，
B
=
{
-
2
，
0
，
1
，
2
，
4
}
，则A∩B=（　　）
A．{1，2} B．{1，2，4} C．{0，1，2} D．{0，1，2，4}
组卷：170引用：3难度：0.8
解析
2．下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（　　）
A．y=x²-1 B．y=lnx C．y=cosx D．y=|x|
组卷：90引用：3难度：0.8
解析
3．使得命题“∀x∈R，kx²+2kx-3＜0”为真命题的k的取值范围（　　）
A．（-3，0） B．（-3，0] C．（-3，1） D．（3，+∞）
组卷：303引用：2难度：0.6
解析
4．设函数
f
（
x
）
=
4
x
-
2
，
x
＜
2
a
x
，
x
≥
2
（a＞0且a≠1），若f（f（1））=16，则a=（　　）
A．
1
4
B．
1
2
C．2 D．4
组卷：26引用：2难度：0.8
解析
5．若
a
=
lo
g
1
2
3
，
b
=
lo
g
1
3
2
，
c
=
（
1
2
）
1
3
，则a,b,c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
组卷：107引用：3难度：0.8
解析
6．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%．经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数
y
=
0
.
05
+
λ
e
-
t
10
（
λ
∈
R
）
描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（　　）
（参考数据ln2≈0.693，ln3≈1.098）
A．5 B．7 C．9 D．10
组卷：422引用：18难度：0.8
解析
7．已知函数f（x）=sin（x-φ）且
cos
（
π
3
-
φ
）
=
cosφ
，则函数f（x）的图像的一条对称轴是（　　）
A．
x
=
-
π
3
B．
x
=
-
π
6
C．
x
=
π
3
D．
x
=
π
6
组卷：93引用：3难度：0.6
解析

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三、解答题（共6小题，共85分）

20．已知函数
f
（
x
）
=
ax
ln
（
x
+
b
）
（
a
≠
0
）
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x-1．
（1）求a、b的值；
（2）求证：f（x）＜x；
（3）若函数g（x）=f（x）+t（x²-x）在区间（1，+∞）上无零点，求t的取值范围．
组卷：43引用：2难度：0.5
解析
21．给定整数n（n≥2），数列A_2n+1：x₁，x₂，…，x_2n+1每项均为整数，在A_2n+1中去掉一项x_k，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为m_k（k=1，2，…，2n+1）．将m₁，m₂，…，m_2n+1中的最小值称为数列A_2n+1的特征值．
（Ⅰ）已知数列A₅：1，2，3，3，3，写出m₁，m₂，m₃的值及A₅的特征值；
（Ⅱ）若x₁≤x₂≤…≤x_2n+1，当[i-（n+1）][j-（n+1）]≥0，其中i,j∈{1，2，…，2n+1}且i≠j时，判断|m_i-m_j|与|x_i-x_j|的大小关系，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列A_2n+1的特征值为n-1，求
∑
1
≤
i
＜
j
≤
2
n
+
1
|
x
i
-
x
j
|
的最小值．
组卷：659引用：10难度：0.1
解析