2014-2015学年湖南省株洲二中高二（下）入学数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共计50分，每小题只有一个正确答案．请将答案填入答题卷中的相应位置．）

• 1．在复平面内，复数

  z

  =

  i

  1

  +

  i

  （其中i是虚数单位）对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：1069引用：34难度：0.9

  解析

• 2．命题“若x≥a²+b²，则x≥2ab”的逆命题是（　　）

  A．若x＜a2+b2，则x＜2ab	B．若x≥a2+b2，则x＜2ab
  C．若x＜2ab,则x＜a2+b2	D．若x≥2ab,则x≥a2+b2
  组卷：392引用：2难度：0.9

  解析

• 3．已知集合A={x|x²-x-2≤0}，B={x|y=ln（1-x）}，则A∩B=（　　）

  A．（1，2）

  B．（1，2]

  C．[-1，1）

  D．（-1，1）
  组卷：890引用：22难度：0.9

  解析

• 4．已知角α的终边与单位圆x²+y²=1交于P（

  1

  2

  ，y₀），则cos2α=（　　）

  A．- 1 2

  B．1

  C． 1 2

  D．- 3 2
  组卷：945引用：9难度：0.9

  解析

• 5．已知变量x,y满足约束条件

  x + 2 y ≥ 1

  x - y ≤ 1

  y - 1 ≤ 0

  ，则z=x-2y的最大值为（　　）

  A．-3

  B．1

  C．3

  D．0
  组卷：2095引用：32难度：0.9

  解析

• 6．将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（　　）种．

  A．12

  B．24

  C．36

  D．72
  组卷：402引用：4难度：0.9

  解析

• 7．若θ=

  kπ

  4

  （0≤k≤10，k∈Z），则sinθ+cosθ≥1的概率为（　　）

  A． 1 5

  B． 2 5

  C． 2 11

  D． 6 11
  组卷：18引用：4难度：0.9

  解析

三、解答题（本大题共6个小题，共计75分，答题应写出详细的文字说明，证明过程或演算步骤．）

• 20．已知椭圆C过点A（1，

  3

  2

  ），两焦点为F₁（-

  3

  ，0）、F₂（

  3

  ，0），O是坐标原点，不经过原点的直线l：y=kx+m与椭圆交于两不同点P、Q．
  （I）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）当k=1时，求△OPQ面积的最大值；
  （Ⅲ）若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率k.
  组卷：112引用：4难度：0.1

  解析

• 21．已知函数f（x）=lnx-ax在x=2处的切线l与直线x+2y-3=0平行．
  （1）求实数a的值；
  （2）若关于x的方程f（x）+m=2x-x²在[

  1

  2

  ，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
  （3）记函数g（x）=f（x）+

  1

  2

  x²-bx,设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，若b

  ≥

  3

  2

  ，且g（x₁）-g（x₂）≥k恒成立，求实数k的最大值．
  组卷：177引用：14难度：0.1

  解析