2023-2024学年上海市黄浦区格致中学高三（上）开学数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．不等式

  x

  -

  2

  x

  +

  1

  ≤0的解集是

  ．
  组卷：225引用：21难度：0.7

  解析

• 2．已知f（sinx）=sinx+1，则函数f（x）的解析式为f（x）=

  ．
  组卷：16引用：1难度：0.8

  解析

• 3．“x≠0或y≠0”是“x²+y²≠0”的

  条件．
  组卷：106引用：3难度：0.7

  解析

• 4．若

  α

  ∈

  （

  π

  2

  ，

  π

  ）

  ，

  cos

  （

  π

  -

  α

  ）

  =

  3

  5

  ，则tanα=

  ．
  组卷：217引用：7难度：0.9

  解析

• 5．若A（1，2）、B（-3，4）、C（5，m）三点不能构成三角形，则m=

  ．
  组卷：144引用：4难度：0.8

  解析

• 6．某市高考新政规定每位学生在物理、化学、生物、历史、政治、地理中选择三门作为等级考试科目，则甲、乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有

  种．（用数字作答）
  组卷：330引用：4难度：0.8

  解析

• 7．集合A={z|z=1+mi,m∈R}，B={z|z=1-n+（1+n）i,n∈R}，则A∩B=

  ．
  组卷：15引用：1难度：0.8

  解析

三、解答题（本大题共5题，满分78分）

• 20．定义：若椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  上的两个点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）满足

  x

  1

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  1

  y

  2

  b

  2

  =

  0

  ，则称A、B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作[A，B]．已知椭圆C的一个焦点坐标为

  F

  1

  （

  -

  2

  2

  ，

  0

  ）

  ，且椭圆C过点A（3，1）．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）求“共轭点对”[A，B]中点B所在直线l的方程；
  （3）设O为坐标原点，点P、Q在椭圆C上，且PQ∥OA，（2）中的直线l与椭圆C交于两点B₁、B₂，且B₁点的纵坐标大于0，设四点B₁、P、B₂、Q在椭圆C上逆时针排列．证明：四边形B₁PB₂Q的面积小于

  8

  3

  ．
  组卷：111引用：6难度：0.5

  解析

• 21．对于函数y=f（x）的导函数y'=f'（x），若在其定义域内存在实数x₀和t,使得f（x₀+t）=（t+1）•f'（x₀）成立，则称y=f（x）是“跃点”函数，并称x₀是函数y=f（x）的“t跃点”．
  （1）若函数y=sinx-m（x∈R）是“

  π

  2

  跃点”函数，求实数m的取值范围；
  （2）若函数y=x²-ax+1是定义在（-1，3）上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数a的取值范围；
  （3）若函数y=e^x+bx（x∈R）是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数b的取值范围．
  组卷：167引用：8难度：0.3

  解析