2023年四川省成都市树德中学自主招生数学模拟试卷

一、单选题

• 1．下列判断正确的是（　　）

  A． 5 - 1 2 ＜0.5	B．若ab=0，则a=b=0
  C． a b = a b	D． 8 与 2 是同类二次根式
  组卷：160引用：3难度：0.6

  解析

• 2．下列四个运算中，只有一个是正确的．这个正确运算的序号是（　　）
  ①3⁰+3^-1=-3；②

  5

  -

  2

  =

  3

  ；③（2a²）³=8a⁵；④-a⁸÷a⁴=-a⁴．

  A．①

  B．②

  C．③

  D．④
  组卷：813引用：4难度：0.8

  解析

• 3．如图1，将一个边长为m的正方形纸片剪去两个小长方形得到一个如图2所示的图形，再将剪下的两个小长方形拼成如图3所示的一个新的长方形，则图3中的长方形的周长为（　　）
  

  A．2m-3n

  B．4m-8n

  C．2m-4n

  D．4m-10n
  组卷：683引用：4难度：0.7

  解析

• 4．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论：
  ①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④S_{四边形ABMD}=

  3

  4

  AM²．
  其中正确结论的个数是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：3562引用：16难度：0.7

  解析

• 5．如图，圆环中大圆的半径为r,小圆的半径为

  r

  2

  ，AB为大圆的直径，则阴影部分的面积为（　　）

  A． π r 2 4

  B． 3 π r 2 4

  C． π r 2 8

  D． 3 π r 2 8
  组卷：621引用：4难度：0.6

  解析

• 6．如图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线l：x=t（0≤t≤2）截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为s,则s关于t的大致图象是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：160引用：2难度：0.9

  解析

• 7．在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，放回搅匀后，再摸出一个球．两次都摸到红球的概率是（　　）

  A． 1 3

  B． 2 3

  C． 2 9

  D． 4 9
  组卷：177引用：4难度：0.6

  解析

三、解答题

• 21．阅读下列两则材料，回答问题
  材料一：我们将（

  a

  +

  b

  ）与（

  a

  -

  b

  ）称为一对“对偶式”
  因为（

  a

  +

  b

  ）（

  a

  -

  b

  ）=（

  a

  ）²-（

  b

  ）²=a-b,所以构造“对偶式”相乘可以有效地将（

  a

  +

  b

  ）和（

  a

  -

  b

  ）中的“

  ”去掉
  例如：已知

  25

  -

  x

  -

  15

  -

  x

  =2，求

  25

  -

  x

  +

  15

  -

  x

  的值．
  解：（

  25

  -

  x

  -

  15

  -

  x

  ）×（

  25

  -

  x

  +

  15

  -

  x

  ）=（25-x）-（15-x）=10
  ∵

  25

  -

  x

  -

  15

  -

  x

  =2，
  ∴

  25

  -

  x

  +

  15

  -

  x

  =5
  材料二：如图，点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂），以AB为斜边作Rt△ABC，
  则C（x₂，y₁），于是AC=|x₁-x₂|，BC=|y₁-y₂|，所以
  AB=

  （

  x

  1

  -

  x

  2

  ）

  2

  +

  （

  y

  1

  -

  y

  2

  ）

  2

  ．
  反之，可将代数式

  （

  x

  1

  -

  x

  2

  ）

  2

  +

  （

  y

  1

  -

  y

  2

  ）

  2

  的值看作点（x₁，y₁）到点（x₂，y₂）的距离．例如
  

  x

  2

  -

  2

  x

  +

  y

  2

  +

  2

  y

  +

  2

  =

  （

  x

  2

  -

  2

  x

  +

  1

  ）

  +

  （

  y

  2

  +

  2

  y

  +

  1

  ）

  =

  （

  x

  -

  1

  ）

  2

  +

  （

  y

  +

  1

  ）

  2

  =

  （

  x

  -

  1

  ）

  2

  +

  [

  y

  -

  （

  -

  1

  ）

  ]

  2

  ．
  所以可将代数式

  x

  2

  -

  2

  x

  +

  y

  2

  +

  2

  y

  +

  2

  的值看作点（x,y）到点（1，-1）的距离．
  （1）利用材料一，解关于x的方程：

  20

  -

  x

  -

  4

  -

  x

  =2，其中x≤4；
  （2）①利用材料二，求代数式

  x

  2

  -

  2

  x

  +

  y

  2

  -

  16

  y

  +

  65

  +

  x

  2

  +

  4

  x

  +

  y

  2

  -

  4

  y

  +

  8

  的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；
  ②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y=

  2

  x

  2

  +

  5

  x

  +

  12

  +

  2

  x

  2

  +

  3

  x

  +

  6

  中解出x,直接写出x的值．
  组卷：1215引用：4难度：0.6

  解析

• 22．如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
  
  （1）求该抛物线的表达式；
  （2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标；
  （3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△POD沿PQ所在的直线翻折得到△POD′，连接AD′，求AD′长度的取值范围．
  组卷：503引用：3难度：0.1

  解析