2022-2023学年山东省淄博市沂源一中高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．直线

  3

  x

  -

  3

  y

  +

  1

  =

  0

  的倾斜角的大小为（　　）

  A．30°

  B．60°

  C．120°

  D．150°
  组卷：46引用：3难度：0.9

  解析

• 2．已知点A（1，3）关于直线l：x-y-3=0的对称点为B，则点B到直线l的距离为（　　）

  A． 2 2

  B． 2

  C． 5 2 2

  D． 7 2 2
  组卷：119引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知直线l的方向向量为

  a

  =

  （

  0

  ，

  3

  ，

  3

  ）

  ，平面m的法向量为

  b

  =

  （

  -

  1

  ，

  1

  ，

  0

  ）

  ，则直线l与m所成的角为（　　）

  A． π 6

  B． π 4

  C． π 3

  D． π 2
  组卷：60引用：3难度：0.6

  解析

• 4．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  1

  2

  ，点A，B在椭圆上运动，当直线AB过椭圆右焦点并垂直于x轴时，△OAB的面积为

  3

  2

  （O为坐标原点），则椭圆的长轴长为（　　）

  A．2

  B．4

  C． 3

  D． 2 3
  组卷：24引用：2难度：0.5

  解析

• 5．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，点P为线段B₁C₁上一点，且

  B

  1

  P

  =

  1

  3

  B

  1

  C

  1

  ，则

  AP

  =（　　）

  A． 1 2 AB + AC + 1 2 A A 1	B． AB + 1 2 AC + 1 2 A A 1
  C． 1 3 AB + 2 3 AC - A A 1	D． 2 3 AB + 1 3 AC + A A 1
  组卷：200引用：5难度：0.7

  解析

• 6．已知棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，M，N分别是A₁B₁，AD，CC₁的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为（　　）

  A．0

  B． 3 3

  C． 3 2

  D． 3
  组卷：161引用：4难度：0.6

  解析

• 7．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，2）三个点，且O为坐标原点，满足

  OA

  •

  OC

  =

  OB

  •

  OC

  =

  1

  2

  ，则直线AB与圆

  （

  x

  -

  1

  2

  ）

  2

  +

  （

  y

  -

  2

  ）

  2

  =

  2

  的位置关系是（　　）

  A．相离	B．相切
  C．相交	D．以上三种情况都有可能
  组卷：58引用：2难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的等边三角形，CC₁=2，∠ACC₁=60°．D，E分别是线段AC，CC₁的中点，二面角C₁-AC-B为直二面角．
  （1）求证：A₁C⊥平面BDE；
  （2）若点P为线段B₁C₁上的动点（不包括端点），求锐二面角P-BD-E的余弦值的取值范围．
  组卷：402引用：9难度：0.5

  解析

• 22．已知轨迹E上任一点G（x,y）与定点

  F

  （

  2

  ，

  0

  ）

  的距离和G到定直线

  l

  ：

  x

  =

  3

  2

  的距离的比为

  3

  3

  ．
  （1）求轨迹E的方程，并说明轨迹表示什么图形？
  （2）设点A（0，-1），B（0，2），过点A且斜率为k₁的动直线l与轨迹E交于M，N两点，直线BM，BN分别交圆x²+（y-1）²=1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k₂，直线BM，BN的斜率分别为k₃，k₄．
  ①求证：k₃•k₄为定值；
  ②问：直线PQ是否过一定点，若过，请求出定点；若不过，请说明理由．
  组卷：40引用：2难度：0.3

  解析